完全平方数

完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数。

例如：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…

观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：

性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。

（此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数）

性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。

证明 奇数必为下列五种形式之一：

10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9

分别平方后，得

综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立

证明 已知

，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则

或

即

或

∴ k为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为

性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

（奇数：n比那个所乘的数-1；偶数：奇数：n比那个所乘的数-2）

在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到 是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)2为8n型或8n+4型的数。

性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。平方后，分别得

同理可以得到：

性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。

性质8：形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。

除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：

一个数的数字和等于这个数被9除的余数。

下面以四位数为例来说明这个命题。

设四位数为，则

1000a+100b+10c+d

= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)

=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。

对于n位数，也可以仿此法予以证明。

关于完全平方数的数字和有下面的性质：

性质9：数字之和只能是0,1,4,7,9。

证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而

除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：

性质10：为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数。

证明 充分性：设b为平方数，则=(ac)

必要性：若为完全平方数，=，则

性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。

证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。

性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。

即若

则k一定不是整数。

性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n本身）。
故可以有以下结论:

1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；

2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；

3/个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；

4/形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；

5/形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；

6/形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；

7/形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；

8/数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

9/四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和

10/完全平方数的因数个数一定是奇数。

一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．

下面给出一个代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define n 999999999

bool check(int x){
//int a;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(i*i==x)
return true;
}
return false;
}

int main(){
__int64 i,a,b;
for(i=1;i<=n;++i){
//int c;
a=i+100;
b=i+168;
if(a%10==2||a%10==3||a%10==7||a%10==8)	continue;//个位是2，3，7，8的不是
if(b%10==2||b%10==3||b%10==7||b%10==8)	continue;
if(((a/10%10)&1)&&(a%10&1))	continue;	//个位和十位都是奇数的不是
if(((b/10%10)&1)&&(b%10&1))	continue;
if(a%10==6&&(a/10%10)&1==0)	continue;	//个位是6，十位是偶数的不是
if(b%10==6&&(b/10%10)&1==0)	continue;
if(check(a) && check(b) )
printf("%d ",i);

}
printf("over\n");
return 0;
}