图

1，相关定义：

　　有向边也称为弧（Arc），<A,D>，A指向D，A是弧尾，D是弧头。

　　如果任意两个顶点之间都存在边，则称无向完全图/有向完全图，含有n个顶点的无向完全图/有向完全图有n*(n-1)*2……n*(n-1)条边。

　　带权图，又称网。

2，连通图

　　2.1 无向图：

　　　　如果对于图中任意两个顶点都是连通的，则称G是连通图。

　　　　无向图中的极大连通子图称为连通分量，条件：

　　　　1.要是子图；

　　　　2.子图要是连通的；

　　　　3.连通子图含有极大顶点数；

　　　　4.具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

　　2.2 有向图：

　　　　在有向图G中，如果对于每一对Vi , Vj ，从Vi 到Vj 都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量。

　　2.3 连通图的生成树：

　　　　连通图的生成树的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。（但是有n-1条边的不一定是生成树）

3，图的存储结构—邻接矩阵：

　　无向图：





　　有向图：

　　


4，图的遍历

　　从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且每个顶点仅被访问一次。

　　4.1 深度优先搜索DFS：

　　类似树的前序遍历，但这是针对连通图而言，从图的某个顶点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，知道图中所有和v有路径想吐的顶点都被访问。对非连通图，只需对它的连通分量分别进行深度优先搜索，若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾访问的顶点作为起始点，重复上述步骤，直到所有顶点都被访问为止

　　


　　

　　4.2 广度优先搜索



5，最小生成树

　　最小生成树的边数必然是顶点数减一，|E| = |V| - 1；

　　最小生成树不可以有循环；

　　最小生成树不必是唯一的；

　　我们把构造连通图的最小代价生成树称为最小生成树（minimum cost spanning tree）；

　　普里姆算法和克鲁斯卡尔算法，Prim算法和Kruskal算法。


　　Prim算法：先选一个结点，然后逐加入结点，加入与先有结点中任一结点最近的一个结点，O(V2)，v为顶点数，如图：

　　


　　Kruskal算法：逐一加边，O(eloge)

　　


6，最短路径

　　6.1 迪杰斯克拉算法dijkstra（两结点之间最短路径）



　　邻接矩阵：

　　


　　求解过程:

终点	从v0到个终点的D值和最短路径的求解过程
i=1	i=2	i=3	i=4	i=5
V1	∞	∞	∞	∞	∞ 无
V2	10 （v0 ,v2）
V3	∞	60 (v0 ,v2 ,v3)	50 (v0 ,v4 ,v3)
V4	30 (v0 ,v4)	30 (v0 ,v4)
V5	100 (v0 ,v5)	100 (v0 ,v5)	90 (v0 ,v4 ,v5)	60 (v0 v4 ,v3 ,v5)
Vi	V2	V4	V3	V5
S	(v0 ,v2)	(v0 ,v4)	(v0 ,v4 ,v3)	(v0 v4 ,v3 ,v5)

6.2 弗洛伊德算法（任一对结点最短路径）

　　每一对顶点之间的最短路径

　　Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

　　Floyd-Warshall算法的原理是动态规划。设Di,j,k为从i到j的只以(1…k)集合中的结点为中间结点的最短路径的长度。

　　1.若最短路径经过点k，则Di,j,k= Di,k,k-1 + Dk,j,k-1

　　2.若最短路径不经过点k，则Di,j,k= Di,j,k-1

因此，Di,j,k= min{Di,j,k-1 , Di,k,k-1 + Dk,j,k-1}

在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。

for k ← 1 to n do

for i ← 1 to n do

for j ← 1 to n do

if (Di,k + Dk,j < Di,j) then

Di,j ← Di,k + Dk,j;

其中Di,j表示由点i到点j的代价，当Di,j为 ∞ 表示两点之间没有任何连接。



D:表示距离

P：表示路径，即走过的路

D(-1),D(-0), D(1),D(2)分别表示（不经过其他结点，经过结点V0，经过结点V1，经过结点V2）四种情况。

D	D(-1)	D(-0)	D(1)	D(2)
0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2
0	0	4	11	0	4	11	0	4	6	0	4	6
1	6	0	2	6	0	2	6	0	2	5	0	2
2	3	∞	0	3	7	0	3	7	0	3	7	0
P	P(-1)	P(0)	P(1)	P(2)
0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2
0		AB	AC		AB	AC		AB	ABC		AB	ABC
1	BA		BC	BA		BC	BA		BC	BCA		BC
2	CA			CA	CAB		CA	CAB		CA	CAB

7，拓扑排序



可得多个拓扑排序序列：(C1, C9 , C4 , C2 , C3 , C5 , C7 , C10 , C11 , C12 , C6 , C8 )

8，关键路径

　　路径长度最长的路径叫做关键路径

　　AOE-网是一个带权的有向无环图，顶点表示事件，弧表示活动，权表示活动持续的时间。　　

　　例如：



注：

　　活动l-e=0，则a2 、a5 、a7是关键活动；

　　取ve=vl的顶点：关键路径为(v1, v3, v4, v6)

　　关键路径：

　　


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