同余运算及其基本性质（证明）

首先一点是，a≡b(modm) 的原型是 amodm=b

线性运算

a≡b(modm)c≡d(modm)}⇒{a±c≡b±d(modm)a×c≡b×d(modm)

证明：

m|a−b,m|c−d⇒m|[(a−b)±(c−d)]⇒m|[(a±c)−(b±d)]⇒a±c≡b±d(modm)

ac−bd=ac−bc+bc−bd=(a−b)c+(c−d)bm|(a−b),m|(c−d)⇒m|(ac−bd)⇒ac≡bd(modm)

一个小推论，

a≡b(modm)⇔ka≡kb(modm)amodm=b⇔kamodm=kb

线性运算的一个自然推论

a≡b(modm)⇒{an≡bnan≡bn(modm),∀n∈Z(modm),∀n∈Z

移项

a+b≡c(modm)⇓a≡c−b(modm)

证明如下：

a+b≡c(modm)⇓m|a+b−c⇓m|a−(c−b)⇓a≡c−b(modm)