算法导论第三版习题5.2

5.2-1

正好雇佣一次说明第一次雇佣的就是所有应聘者中最好的，所以概率为1n\frac{1}{n}

正好雇佣nn次说明所有应聘者按优秀从低到高依次出现，第一位是最差的，概率为1n\frac{1}{n},第二位其次，概率为1n−1\frac{1}{n-1},所以整体概率为1n!\frac{1}{n!}

5.2-2

正好雇佣两次，说明第一个应聘者不是最好的，概率为n−1n\frac{n-1}{n}，第二个应聘者是最好的，概率为1n−1\frac{1}{n-1}，所以概率为n−1n1n−1=1n\frac{n-1}{n}\frac{1}{n-1}=\frac{1}{n}

5.2-3

定义XiX_i表示第ii个骰子上点数的指示器随机变量：

Xi=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1筛子i上点数为12筛子i上点数为23筛子i上点数为34筛子i上点数为45筛子i上点数为56筛子i上点数为6 X_i=\left\{\begin{array}{c}1\quad\text{筛子i上点数为1}\\2\quad\text{筛子i上点数为2}\\3\quad\text{筛子i上点数为3}\\4\quad\text{筛子i上点数为4}\\5\quad\text{筛子i上点数为5}\\6\quad\text{筛子i上点数为6}\end{array}\right.

以及

X=X1+X2+⋯+XnX=X_1+X_2+\cdots+X_n

对于每一个骰子，每一面出现概率等概，其点数期望为

E[Xi]=1+2+3+4+5+66=3.5E[X_i]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5

现在可计算E[X]E[X]:

E[X]=E[∑i=1nXi]=∑i=1nE[Xi]=∑i=1n3.5=3.5n\begin{align}
E[X]&=E[\sum_{i=1}^nX_i]\\
&=\sum_{i=1}^nE[X_i]\\
&=\sum_{i=1}^n 3.5\\
&=3.5n
\end{align}

5.2-4

定义第ii个顾客拿到自己帽子的指示器随机变量为：

Xi=I{第i个顾客拿到自己的帽子}={12如果第i个顾客拿到自己的帽子如果第i个顾客未拿到自己的帽子X_i=I\{第i个顾客拿到自己的帽子\}=\left\{\begin{array}{c}1&\quad\text{如果第i个顾客拿到自己的帽子}\\2&\quad\text{如果第i个顾客未拿到自己的帽子}\end{array}\right.

以及

X=X1+X2+⋅+XnX=X_1+X_2+\cdot+X_n

对于顾客ii，一共有nn个帽子，他拿到自己的帽子的概率为1/n1/n，故E[Xi]=1/nE[X_i]=1/n

故能拿到自己帽子的顾客期望数为

E[X]=E[∑i=1nXi]=∑i=1nE[Xi]=∑i=1n1n=1\begin{align}
E[X]&=E[\sum_{i=1}^nX_i]\\
&=\sum_{i=1}^nE[X_i]\\
&=\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}\\
&=1
\end{align}

5.2-5

我们可以假设，i<j,A[i]>A[j]i\lt j,A[i] \gt A[j]的指示器随机变量为XijX_{ij}:

Xij=I{i<j,A[i]>A[j]}={1如果A[i]>A[j]0如果A[i]<A[j]X_{ij}=I\{i \lt j,A[i] \gt A[j]\}=\left\{\begin{array}{c}1\quad 如果A[i]\gt A[j]\\0\quad 如果A[i]\lt A[j]\end{array}\right.

以及

X=∑i=1n∑j=i+1nXijX=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^nX_{ij}

对于每一对i,j,E[Xi]=Pr{Xij=1}=12i,j,E[X_i]=Pr\{X_{ij}=1\}=\frac{1}{2}

所以总的逆序对数目期望为：

E[X]=E[∑i=1n∑j=i+1nXij]=∑i=1n∑j=i+1nE[Xij]=∑i=1n∑j=i+1n12=n(n−1)4\begin{align}
E[X]&=E[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^nX_{ij}]\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^nE[X_{ij}]\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n\frac{1}{2}\\
&=\frac{n(n-1)}{4}
\end{align}