BZOJ 3144 HNOI 2013 切糕

题解

首先我们不考虑其它，如果这个切糕只有1∗1∗r，我们的线性规划式可以表示成：

min{∑max{0,xi−xi−1}⋅vi+∑max{0,1−xn}⋅∞}

令 x0=0，即源点。

这样子可以限制数列{vn}只取1个点且数最小。只会允许 {xn}前段全为0，后段全为1。

取0意味着割点在i之后，因为i∈S；1意味着割点在i之前或就是i本身，因为i∈T。

就这个式子本身而言，如果更加直观，可以这么写：

min{∑max{0,xi−x′i}⋅vi+∑max{0,x′j−xi}⋅∞}

其中x′n+1=1,x0=0。效果是一样的，无非就是拆个点。

其实从构好的图也可以看出，一列点依次有向的连接，最后连到汇点的是inf的边，那么最小割只会取最小的。

那么现在扩充到p∗q∗r，就是扩展一下式子：

min{∑max{0,xi,j,k−xi,j,k−1}⋅vi+∑max{0,1−xi,j,r}⋅∞}

式子仍不满足要求，因为存在∣∣f(x,y)−f(x′,y′)∣∣≤D

所以我们继续扩展式子：

min{∑max{0,xi,j,k−xi,j,k−1}⋅vi+∑max{0,1−xi,j,r}⋅∞+∑max{0,xi′,j′,k−d−xi,j,k}⋅∞}

其中∣∣x−x′∣∣+∣∣y−y′∣∣=1

分情况讨论，如果xi′,j′,k−d为1，那么说明(i′,j′)列被割的点在k−d之前，xi,j,k取0是不合法的，因为(i,j)列的割点在k之后，显然距离超过D，画图可知。

如果xi′,j′,k−d为0，那么说明(i′,j′)列被割的点在k−d之后，xi,j,k取1和0对于xi,j,k本身是合法的。而如果xi′,j′,k−d取值0不合法，会有xi,j,k后面的点判断不合法。

因此我们可以构图。

s连向(i,j,1)，边权v(i,j,1)；(i,j,k−1)连向(i,j,k)，边权v(i,j,k)；(i,j,r)连向t，边权∞；(i,j,k)连向(i′,j′,k−d)，边权∞。

跑一下网络流即可。

想法比别人复杂好多。

实际上这种题用不上线性规划构图。。

实际上这个构图很直观就可以yy出来了。

直观构图可以看http://www.cnblogs.com/zig-zag/archive/2013/05/13/3076563.html 和http://blog.csdn.net/zarxdy34/article/details/45272055。

88ms真慢。。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100005, M = N * 5, inf = 0x3f3f3f3f;
namespace Graph {
int head
, next[M], to[M], vis
, cur
, level
, que[N * 10], w[M];
;
int edge_cnt = 0, s, t;
void add(int a, int b, int c) {
next[edge_cnt] = head[a]; to[edge_cnt] = b; w[edge_cnt] = c; head[a] = edge_cnt++;
next[edge_cnt] = head[b]; to[edge_cnt] = a; w[edge_cnt] = 0; head[b] = edge_cnt++;
}
bool bfs() {
memset(level, -1, sizeof level);
int f = 0, r = 0;
que[r++] = s; level[s] = 0;
while (f < r) {
int u = que[f++];
for (int i = head[u]; i != -1; i = next[i])
if (w[i] > 0 && level[to[i]] == -1) {
level[to[i]] = level[u] + 1;
que[r++] = to[i];
}
}
return level[t] != -1;
}
int dfs(int u, int low) {
if (u == t) return low;
int res = 0;
for (int i = cur[u]; i != -1 && res < low; i = next[i])
if (w[i] > 0 && level[to[i]] == level[u] + 1) {
int tmp = dfs(to[i], min(low - res, w[i]));
res += tmp; w[i] -= tmp; w[i ^ 1] += tmp;
if (w[i]) cur[u] = i;
}
if (!res) level[u] = -1;
return res;
}
int solve() {
int ans = 0;
while (bfs()) {
memcpy(cur, head, sizeof cur);
ans += dfs(s, inf);
}
return ans;
}
}

int dx[] = {0, 0, 1, -1};
int dy[] = {-1, 1, 0, 0};
int v[41][41][41];

int main() {
using namespace Graph;
int p, q, r, d, i, j, k, l;
memset(head, -1, sizeof head);
scanf("%d%d%d%d", &p, &q, &r, &d);
for (i = 1; i <= r; i++)
for (j = 1; j <= p; j++)
for (k = 1; k <= q; k++)
scanf("%d", &v[j][k][i]);
s = 0; t = p * q * r + 1;

#define id(x,y,z) ((z==0)?0:((z-1)*p*q+(x-1)*q+y))

for (i = 1; i <= p; i++)
for (j = 1; j <= q; j++) {
for (k = 1; k <= r; k++) {
add(id(i, j, k - 1), id(i, j, k), v[i][j][k]);
if (k > d)
for (l = 0; l < 4; l++) {
int nx = i + dx[l], ny = j + dy[l];
if (nx < 1 || nx > p || ny < 1 || ny > q) continue;
add(id(i, j, k), id(nx, ny, k - d), inf);
}
}
add(id(i, j, r), t, inf);
}

printf("%d", solve());

return 0;
}

3144: [Hnoi2013]切糕

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Description

Input

第一行是三个正整数P,Q,R，表示切糕的长P、 宽Q、高R。第二行有一个非负整数D，表示光滑性要求。接下来是R个P行Q列的矩阵，第z个 矩阵的第x行第y列是v(x,y,z) (1≤x≤P, 1≤y≤Q, 1≤z≤R)。

100%的数据满足P,Q,R≤40，0≤D≤R，且给出的所有的不和谐值不超过1000。

Output

仅包含一个整数，表示在合法基础上最小的总不和谐值。

Sample Input

2 2 2

1

6 1

6 1

2 6

2 6

Sample Output

6

HINT

最佳切面的f为f(1,1)=f(2,1)=2,f(1,2)=f(2,2)=1