插值法：拉格朗日插值、牛顿插值

拉格朗日插值法

（*以下定义选自维基百科）

算法流程图

算法代码

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#include<iostream>  

#include<string>  

#include<vector>  

using namespace std;  

  

double Lagrange(int N,vector<double>&X,vector<double>&Y,double x);  

  

int main(){  

  char a='n';  

  do{  

    cout<<"请输入差值次数n的值："<<endl;  

    int N;  

    cin>>N;  

    vector<double>X(N,0);  

    vector<double>Y(N,0);  

    cout<<"请输入插值点对应的值及函数值(Xi,Yi)："<<endl;  

    for(int a=0;a<N;a++){  

        cin>>X[a]>>Y[a];  

    }  

    cout<<"请输入要求值x的值："<<endl;  

    double x;  

    cin>>x;  

    double result=Lagrange(N,X,Y,x);  

    cout<<"由拉格朗日插值法得出结果： "<<result<<endl;  

    cout<<"是否要继续？(y/n)：";  

    cin>>a;  

  }while(a=='y');  

  return 0;  

}  

  

double Lagrange(int N,vector<double>&X,vector<double>&Y,double x){  

  double result=0;  

  for(int i=0;i<N;i++){  

    double temp=Y[i];  

    for(int j=0;j<N;j++){  

    if(i!=j){  

        temp = temp*(x-X[j]);  

        temp = temp/(X[i]-X[j]);  

   }  

  }  

  result += temp;  

}  

 return result;  

};  

牛顿插值法

牛顿插值法公式如下，具体参见（百度文档）

算法流程

算法代码

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#include<iostream>  

#include<string>  

#include<vector>  

using namespace std;  

  

double ChaShang(int n,vector<double>&X,vector<double>&Y);  

double Newton(double x,vector<double>&X,vector<double>&Y);  

  

int main(){  

  int n;  

  cin>>n;  

  vector<double>X(n,0);  

  vector<double>Y(n,0);  

  for(int i=0;i<n;i++){  

    cin>>X[i]>>Y[i];  

  }  

  double x;  

  cin>>x;  

  cout<<Newton(x,X,Y);  

}  

  

double ChaShang(int n,vector<double>&X,vector<double>&Y){  

  double f=0;  

  double temp=0;  

  for(int i=0;i<n+1;i++){  

    temp=Y[i];  

    for(int j=0;j<n+1;j++)  

        if(i!=j) temp /= (X[i]-X[j]);  

    f += temp;  

  }  

  return f;  

}  

  

double Newton(double x,vector<double>&X,vector<double> &Y){  

  double result=0;  

  for(int i=0;i<X.size();i++){  

    double temp=1;  

    double f=ChaShang(i,X,Y);  

    for(int j=0;j<i;j++){  

        temp = temp*(x-X[j]);  

    }  

    result += f*temp;  

  }  

  return result;  

}  

实验过程原始记录

给定函数四个点的数据如下：



试用拉格朗日插值确定函数在x=2.101，4.234处的函数值。

运行得到结果：



已知用牛顿插值公式求的近似值。

运行程序得到结果：   2.26667 

实验分析

1、Lagrange插值法和Newton插值法解决实际问题中关于只提供复杂的离散数据的函数求值问题，通过将所考察的函数简单化，构造关于离散数据实际函数f（x）的近似函数P（x），从而可以计算未知点出的函数值，是插值法的基本思路。

2、实际上Lagrange插值法和Newton插值法是同一种方法的两种变形，其构造拟合函数的思路是相同的，而实验中两个实际问题用两种算法计算出结果是相同的。

3、实验所得结果精确度并不高，一方面是因为所给数据较少，另一方面也是主要方面在Win32中C++中数据类型double精度只有7位，计算机在进行浮点运算时截断运算会导致误差。实际问题中，测量数据也可能导致误差。

4、在解决实际问题中，更多是利用精确且高效的计算机求解。所以解决问题时不仅要构造可求解的算法，更重要是构造合理的可以编写成程序由计算机求解的算法，而算法的优化不仅可以节省时间空间，更能得到更为精确有价值的结果。

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