第四十课 问题求解方法——穷举 【项目1-9】

第四十课 问题求解方法——穷举

项目一 【小明借书】
小明有五本新书，要借给A，B，C三位小朋友，若每人每次只能借一本，则可以有多少种不同的借法？
提示：本问题实际上是一个排列问题，即求从5个中取3个进行排列的方法的总数。首先对五本书从1至5进行编号，然后使用穷举的方法。假设三个人分别借这五本书中的一本，当三个人所借的书的编号都不相同时，就是满足题意的一种借阅方法。

代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
int a,b,c,i=0;
for(a=1;a<=5;a++)
for(b=1;b<=5;b++)
for(c=1;c<=5;c++)
if(a!=b&&b!=c&&a!=c)
{
if(i%6==0)
printf("\n");
printf("%d %d %d   ",a,b,c);
i++;
}
printf("\n共%d种借法\n",i);
return 0;
}

运行结果：



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项目二 【水仙花数】
对于三位数字，若各位数字立方和等于该数，该数就是水仙花数。如153：153=13+53+33

代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
int a,b,c,num;
for(a=1;a<=9;a++)
for(b=0;b<=9;b++)
for(c=0;c<=9;c++)
{
num=a*100+b*10+c;
if(num==a*a*a+b*b*b+c*c*c)
printf("%d ",num);
}
printf("\n");
return 0;
}

运行结果：



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项目三 【鸡兔共笼】
鸡兔共有30只，脚共有90只，问鸡兔各有多少？

代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
int a,b;
for(a=0;a<=30;a++)
{
b=30-a;
if((a+2*b)==45)
printf("鸡%d,兔%d\n",a,b);
}
return 0;
}

运行结果：



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项目四 【换分币】
用一元人民币兑换成1分、2分和5分硬币，有多少种不同的兑换方法？请输出所有可能的方案。
提示：根据题意设i,j,k分别为兑换的1分、2分、5分硬币的枚数，则i,j,k的值应满足：i+j*2+k*5=100，根据取值范围构造循环解题即可。

代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
int i,j,k,n=0;
for(i=0;i<=100;i++)
for(j=0;j<=50;j++)
for(k=0;k<=20;k++)
if((i+j*2+k*5)==100)
{
printf("一分%d，二分%d，五分%d\n",i,j,k);
n++;
}
printf("共%d种换法\n",n);
return 0;
}

运行结果：



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项目五 【年龄几何】
张三、李四、王五、刘六的年龄成一等差数列，他们四人的年龄相加是26，相乘是880，求以他们的年龄为前4项的等差数列的前20项。
提示：设数列的首项为n，公差为a，则前4项之和为"4*n+6*a",前4 项之积为"n*(n+a)*(n+a+a)*(n+a+a+a)"。同时"1<=a<=4","1<=n<=6"。可采用穷举法求出此数列。

代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
int n,a,i;
for(n=1;n<=6;n++)
for(a=1;a<=4;a++)
if((4*n+6*a)==26&&(n*(n+a)*(n+a+a)*(n+a+a+a))==880)
for(i=1;i<=20;i++)
{
printf("%d ",n);
n=n+a;
}
printf("\n");
return 0;
}

运行结果：



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项目六 【三色球问题】
若一个口袋中放有12个球，其中有3个红的。3个白的和6个黒的，问从中任取8个共有多少种不同的颜色搭配？
提示：设任取的红球个数为i，白球个数为j，则黒球个数为8-i-j，根据题意红球和白球个数的取值范围是0~3，在红球和白球个数确定的条件下，黒球个数取值应为8-i-j<=6。

代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
int i,j,k,n=0;
for(i=0;i<=3;i++)
for(j=0;j<=3;j++)
{
k=8-i-j;
if(k<=6)
{
printf("红球%d,白球%d,黑球%d\n",i,j,k);
n++;
}
}
printf("共%d种选择\n",n);
return 0;
}

运行结果：



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项目七 【找数字】

（1）求满足下式的 x,y,z

[plain] view
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     x y z  

  +  y z z  

──────  

     5 3 2   

请补充完整下面的程序：

[cpp] view
plaincopyprint?





#include <stdio.h>  

int main()  

{  

    int x,y,z,i,result=532;  

    for (x=1;___(1)___; x++)  

        for (y=1; ___(2)___; y++)  

            for ( ___(3)___;___(4)___; z++)  

            {  

                i=___(5)___+(100*y+10*z+z);  

                if (i==result)    

                    printf("x=%d, y=%d, z=%d\n",x,y,z);  

            }  

    return 0;  

}  

（2）在下面的加法算式中，不同的符号代表不同的数字，相同的符号代表相同的数字。请设计程序求出"都、要、学、C"4个符号分别代表的数字。

[plain] view
plaincopyprint?





              C    

          学  C    

      要  学  C    

+ 都  要  学  C    

________________    

  2   0   0   8   

提示：让计算机解奥数题。穷举"都、要、学、C"4个符号分别代表的数字（从0到9），然后进行组合，如果组合起来符合规则（不同的符号代表不同的数字，相同的符号代表相同的数字，且使等式成立），则为正解。

（1）代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
int x,y,z,i,result=532;
for(x=1;x<=5;x++)
for(y=1;y<=5;y++)
for(z=1;z<=9;z++)
{
i=(x*100+y*10+z)+(100*y+10*z+z);
if(i==result)
printf("x=%d,y=%d,z=%d\n",x,y,z);
}
return 0;
}

运行结果：



（2）代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
int a,b,c,d,sum;
for(d=0;d<=7;d++)
for(c=0;c<=9;c++)
for(b=0;b<=9;b++)
for(a=0;a<=2;a++)
if(a!=b&&a!=c&&a!=d&&b!=c&&b!=d&&c!=d)
{
sum=d*4+c*30+b*200+a*1000;
if(sum==2008)
printf("都%d,要%d,学%d,c%d\n",a,b,c,d);
}
return 0;
}

运行结果：



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项目八 【谁是小偷】
警察局抓住了A、B、C、D四名盗窃嫌疑犯，其中只有一人是小偷。在审问时，A说：“我不是小偷”；B说：“C是小偷”；C说：“小偷肯定是D”；D说：“C在冤枉好人”。现在已经知道这四人中有三人说的是真话，一人说的是假话。请问到底谁是小偷？
提示：设4个变量a,b,c,d，为0时表示不是小偷，为1时表示是小偷，用四重循环穷举a,b,c,d可能的取值的组合，对每一种组合判断其是否符合题目中给出的约束。最后结论：C是小偷。

代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
int a,b,c,d;
for(a=0;a<=1;a++)
for(b=0;b<=1;b++)
for(c=0;c<=1;c++)
for(d=0;d<=1;d++)
{
if((a==0&&c==1&&d==1)||(a==0&&d==1&&d==0)||(a==0&&c==1&&d==0)||(c==1&&d==1&&d==0))
if(a+b+c+d==1)
printf("a%d,b%d,c%d,d%d\n",a,b,c,d);
}
return 0;
}

运行结果：



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项目九 【污损的单据】
（1）有等式[※×(※3+※)]2=8※※9，其中※处为1个数字，滴上了墨水无法辨认。请编程找出※表示哪个数字。
（2）有等式[※×(※3○※)]2=8※※9，其中※处为1个数字，○处为+、-、×、÷四个运算符之一，现滴上了墨水无法辨认。请编程找出※表示哪个数字，○表示哪个运算符。
（1）代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
int a,b,c,d,e,n;
for(a=0;a<=9;a++)
for(b=0;b<=9;b++)
for(c=0;c<=9;c++)
for(d=0;d<=9;d++)
for(e=0;e<=9;e++)
{
n=a*(b*10+3+c);
if(n*n==(8000+d*100+e*10+9))
printf("[%dx(%d+%d)]^2=%d\n",a,b*10+3,c,8000+d*100+e*10+9);
}
return 0;
}

运行结果：



（2）代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
int a,b,c,d,e,n;
for(a=0;a<=9;a++)
for(b=0;b<=9;b++)
for(c=0;c<=9;c++)
for(d=0;d<=9;d++)
for(e=0;e<=9;e++)
{
n=a*(b*10+3+c);
if(n*n==(8000+d*100+e*10+9))
printf("[%dx(%d+%d)]^2=%d\n",a,b*10+3,c,8000+d*100+e*10+9);
n=a*(b*10+3-c);
if(n*n==(8000+d*100+e*10+9))
printf("[%dx(%d-%d)]^2=%d\n",a,b*10+3,c,8000+d*100+e*10+9);
n=a*((b*10+3)*c);
if(n*n==(8000+d*100+e*10+9))
printf("[%dx(%dx%d)]^2=%d\n",a,b*10+3,c,8000+d*100+e*10+9);
if(c!=0)
{
n=a*((b*10+3)/c);
if(n*n==(8000+d*100+e*10+9))
printf("[%dx(%d/%d)]^2=%d\n",a,b*10+3,c,8000+d*100+e*10+9);
}
}
return 0;
}

运行结果：



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总结：

    这一课主要用循环的特性来做嵌套，让计算机完成穷举来得到结果，穷举的效率本来就低，应该尽可能的减少不必要的循环次数，来减少无用功。

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