算法导论课后习题解析 第三章

算法导论课后习题解析 第三章

3.1-1

分情况讨论

当f(n)≥g(n)f(n)≥g(n)时，max(f(n),g(n))=f(n)max(f(n),g(n))=f(n)，存在c1=12,c2=1,n0>0c1=12,c2=1,n0>0使得

0<c1(f(n)+g(n))≤f(n)≤c2(f(n)+g(n))对于所有n≥n00<c1(f(n)+g(n))≤f(n)≤c2(f(n)+g(n))对于所有n≥n0
同理可证当g(n)>f(n)g(n)>f(n)的情况

3.1-2

(n+a)b=nb+c1nb−1+c2nb−2+⋯+ab=θ(nb)(n+a)b=nb+c1nb−1+c2nb−2+⋯+ab=θ(nb)

3.1-3

大O表示法用来表示一个算法复杂度的上界，而“至少”一词用来形容下界，所以这句话的意思是该算法复杂度的上界只要不小于O(n2)O(n2)即可，相当于没有说明算法的复杂度的界限，没有意义。

3.1-4

2n+1=O(2n)2n+1=O(2n)

证明：存在c=2,n0>0c=2,n0>0使得

0≤2n+1≤c2n对于所有n≥n00≤2n+1≤c2n对于所有n≥n0
22n≠O(2n)22n≠O(2n)

证明：假设存在c,n0c,n0使得

0≤22n≤c2n对于所有n≥n0⇒2n∗2n≤c2n⇒2n≤c0≤22n≤c2n对于所有n≥n0⇒2n∗2n≤c2n⇒2n≤c
由于不存在常数c使得等式成立，故产生矛盾，得证。

3.1-5

利用定义就可以直接证明

3.1-6

最坏情况下复杂度为O(g(n))O(g(n))说明所有情况时间复杂度为O(g(n))O(g(n))，最好情况下时间复杂度为Θ(g(n))Θ(g(n))说明所有情况时间复杂度为Ω(g(n))Ω(g(n))，根据定理3.1得算法时间复杂度为Θ(g(n))Θ(g(n))

3.1-7

f(n)=o(g(n))f(n)=o(g(n))说明对于任意正常数c,n0c,n0，对于所有的n≥n0n≥n0都有

0≤f(n)<cg(n)对于所有n≥n00≤f(n)<cg(n)对于所有n≥n0
这时假设f(n)=ω(g(n))f(n)=ω(g(n))，说明对于任意正常数c,n0c,n0，对于所有的n≥n0n≥n0都有

0≤cg(n)<f(n)0≤cg(n)<f(n)
然而这样的常数c是存在的，故产生矛盾，可得o(g(n))∩ω(g(n))=Φo(g(n))∩ω(g(n))=Φ。

3.1-8

Ω(g(m,n))={f(m,n):存在大于零的常数c,n0,m0使得0≤cg(n,m)≤f(n,m)对于所有n≥n0或m≥m0}Ω(g(m,n))={f(m,n):存在大于零的常数c,n0,m0使得0≤cg(n,m)≤f(n,m)对于所有n≥n0或m≥m0}

Θ(g(m,n))={f(m,n):存在大于零的常数c1,c2,n0,m0使得0≤c1g(n,m)≤f(n,m)≤c2g(n,m)对于所有n≥n0或m≥m0}Θ(g(m,n))={f(m,n):存在大于零的常数c1,c2,n0,m0使得0≤c1g(n,m)≤f(n,m)≤c2g(n,m)对于所有n≥n0或m≥m0}

3.2-1

由于f(n)和g(n)单调递增，所以对于任意x1<x2x1<x2，都有

f(x1)<f(x2)f(x1)<f(x2)

g(x1)<g(x2)g(x1)<g(x2)
所以

f(x1)+g(x1)<f(x2)+g(x2)f(x1)+g(x1)<f(x2)+g(x2)

f(g(x1))<f(g(x2))f(g(x1))<f(g(x2))
如果当f(x)和g(x)都非负时显然有

f(x1)∗g(x1)<f(x2)∗g(x2)f(x1)∗g(x1)<f(x2)∗g(x2)

3.2-2

lgalogbc=logbclga=lgalgclgblg⁡alogb⁡c=logb⁡clg⁡a=lg⁡alg⁡clg⁡b

lgclogba=logbalgc=lgalgclgblg⁡clogb⁡a=logb⁡alg⁡c=lg⁡alg⁡clg⁡b

⇒alogbc=clogba⇒alogb⁡c=clogb⁡a

3.2-3

证明lg(n!)=Θ(nlgn)lg⁡(n!)=Θ(nlg⁡n)：

lgn!=∑i=1nlgi<∑i=1nlgn=nlgnlg⁡n!=∑i=1nlg⁡i<∑i=1nlg⁡n=nlg⁡n

∑i=1nlgi=∑i=1n/2[lgi+lg(n−i)]=∑i=1n/2[lgi(n−i)]>∑i=1n/2lgn24=nlgn−n=12nlgn∑i=1nlg⁡i=∑i=1n/2[lg⁡i+lg⁡(n−i)]=∑i=1n/2[lg⁡i(n−i)]>∑i=1n/2lg⁡n24=nlg⁡n−n=12nlg⁡n

⇒lg(n!)=Θ(nlgn)⇒lg⁡(n!)=Θ(nlg⁡n)
证明n!=ω(2n)n!=ω(2n)：

∵当n>4时，i(n−i)>22∵当n>4时，i(n−i)>22

∴n!=∏i=1n/2i(n−i)>∏i=1n/222=2n∴n!=∏i=1n/2i(n−i)>∏i=1n/222=2n

∴n!=ω(2n)∴n!=ω(2n)
证明n!=o(nn)n!=o(nn)：

∵当n>1时，n!=∏i=1ni<∏i=1nn=nn∵当n>1时，n!=∏i=1ni<∏i=1nn=nn

∴n!=o(nn)∴n!=o(nn)

3.2-4

证明f(n)f(n)是否多项式有界等价于证明lgf(n)=O(lgn)lg⁡f(n)=O(lg⁡n)，这是因为如果f(n)f(n)多项式有界，则存在正常数c,k,n0c,k,n0使得对于所有的n>n0n>n0都有f(n)<cnkf(n)<cnk，即lgf(n)<kclgnlg⁡f(n)<kclg⁡n，所以lgf(n)=Olgnlg⁡f(n)=Olg⁡n，反之亦然。

对于⌈lgn⌉!⌈lg⁡n⌉!我们有

lg(⌈lgn⌉!)=Θ(⌈lgn⌉lg⌈lgn⌉)=Θ(lgnlglgn)=ω(lgn)lg⁡(⌈lg⁡n⌉!)=Θ(⌈lg⁡n⌉lg⁡⌈lg⁡n⌉)=Θ(lg⁡nlg⁡lg⁡n)=ω(lg⁡n)
⌈lgn⌉!⌈lg⁡n⌉! 非多项式有界

对于 ⌈lglgn⌉!⌈lg⁡lg⁡n⌉! 我们有

lg(⌈lglgn⌉!)=Θ(⌈lglgn⌉lg⌈lglgn⌉)=Θ(lglgnlglglgn)=o((lglgn)2)=o(lgn)lg⁡(⌈lg⁡lg⁡n⌉!)=Θ(⌈lg⁡lg⁡n⌉lg⁡⌈lg⁡lg⁡n⌉)=Θ(lg⁡lg⁡nlg⁡lg⁡lg⁡n)=o((lg⁡lg⁡n)2)=o(lg⁡n)
⌈lglgn⌉!⌈lg⁡lg⁡n⌉! 多项式有界

3.2-5

lg∗lgn=lg∗n−1>lglg∗n,当lg∗n>2时lg∗⁡lg⁡n=lg∗⁡n−1>lg⁡lg∗⁡n,当lg∗⁡n>2时

3.2-6

ϕ2=(1+5√2)2=3+5√2=ϕ+1ϕ2=(1+52)2=3+52=ϕ+1

ϕ^2=(1−5√2)2=3−5√2=ϕ^+1ϕ^2=(1−52)2=3−52=ϕ^+1

3.2-7

证明：

当i = 0时，

ϕ0−ϕ^05√=0=F0ϕ0−ϕ^05=0=F0
当i = 1时，

ϕ1−ϕ^15√=1=F1ϕ1−ϕ^15=1=F1
假设当i = k-1和i = k时都满足公式，则当i = k+1时

Fk+1=Fk+Fk−1=(ϕk+ϕk−1)−(ϕ^k+ϕ^k−1)5√=ϕk−1(ϕ+1)−ϕ^k−1(ϕ^+1)5√=ϕk+1−ϕ^k+15√Fk+1=Fk+Fk−1=(ϕk+ϕk−1)−(ϕ^k+ϕ^k−1)5=ϕk−1(ϕ+1)−ϕ^k−1(ϕ^+1)5=ϕk+1−ϕ^k+15

3.2-8

这题要用到性质g(n)=Θ(f(n))⇔f(n)=Θ(g(n))g(n)=Θ(f(n))⇔f(n)=Θ(g(n))，所以klnk=Θ(n)⇔n=Θ(klnk)kln⁡k=Θ(n)⇔n=Θ(kln⁡k)，
要证k=Θ(n/lnn)k=Θ(n/ln⁡n)等价于证n/lnn=Θ(k)n/ln⁡n=Θ(k)，代入条件得

nlnn=Θ(klnkln(klnk))=Θ(klnklnk)=Θ(k)nln⁡n=Θ(kln⁡kln⁡(kln⁡k))=Θ(kln⁡kln⁡k)=Θ(k)

3-1

a.

P(n)=∑i=0daini=nd∑i=0daini−d≤nd∑i=0dai≤cnkP(n)=∑i=0daini=nd∑i=0daini−d≤nd∑i=0dai≤cnk
b.

P(n)=∑i=0daini≥nd≥cndP(n)=∑i=0daini≥nd≥cnd
c. 由前两问可证。

d. 同a

e. 同b

3-2

A	B	OO	oo	ΩΩ	ωω	ΘΘ
lgknlgk⁡n	nϵnϵ	yes	yes	no	no	no
nknk	cncn	no	no	yes	yes	no
n√n	nsinnnsin⁡n	no	no	no	no	no
2n2n	2n/22n/2	no	no	yes	yes	no
nlgcnlg⁡c	clgnclg⁡n	yes	no	yes	no	yes
lg(n!)lg⁡(n!)	lg(nn)lg⁡(nn)	yes	no	yes	no	yes

3-3

a.

22n+1>22n>(n+1)!>n!>en>n2n>2n>(3/2)n>(lgn)lgn=nlglgn>(lgn)!22n+1>22n>(n+1)!>n!>en>n2n>2n>(3/2)n>(lg⁡n)lg⁡n=nlg⁡lg⁡n>(lg⁡n)!

>n3>n2=4lgn>nlgn=lg(n!)>n=2lgn>(2√)lgn=n√>22lgn√>lg2n>lnn>n3>n2=4lg⁡n>nlg⁡n=lg⁡(n!)>n=2lg⁡n>(2)lg⁡n=n>22lg⁡n>lg2⁡n>ln⁡n

>lgn−−−√>lnlnn>2lg∗n>lg∗n=lg∗(lgn)>lg(lg∗n)>n1/lgn=2=1>lg⁡n>ln⁡ln⁡n>2lg∗⁡n>lg∗⁡n=lg∗⁡(lg⁡n)>lg⁡(lg∗⁡n)>n1/lg⁡n=2=1
b. 非连续性函数或者震荡函数就能满足要求，比如

f(n)={n,0, −1n>0 −1n<0 f(n)={n, −1n>0 0, −1n<0

3-4

a. 错误，举个反例n=O(n2)n=O(n2)，而n2≠O(n)n2≠O(n)

b. 错误，举个反例n+n2=O(n2)≠O(min(n,n2))=O(n)n+n2=O(n2)≠O(min(n,n2))=O(n)

c. 正确，f(n)=O(g(n))f(n)=O(g(n))表明存在正常数c,n0c,n0对所有n≥n0n≥n0都有f(n)≤cg(n)f(n)≤cg(n)，所以也有lgf(n)≤lg(cg(n))lg⁡f(n)≤lg⁡(cg(n))，得证

d. 正确，f(n)=O(g(n))f(n)=O(g(n))表明存在正常数c,n0c,n0对所有n≥n0n≥n0都有f(n)≤cg(n)f(n)≤cg(n)，所以也有2f(n)≤2cg(n)2f(n)≤2cg(n)，得证

e. 正确，同理可证。

f. 正确，定义直接证明。

g. 错误，举个反例2n=Θ(2n)=ω(2n/2)2n=Θ(2n)=ω(2n/2)

h. 正确，g(n)=o(f(n))g(n)=o(f(n))表明存在正常数n0n0对于任意正常数cc，对所有n≥n0n≥n0都有g(n)<f(n)g(n)<f(n)，所以对于所有n≥n0n≥n0都有f(n)+o(f(n)))<f(n)+f(n)=2f(n)f(n)+o(f(n)))<f(n)+f(n)=2f(n)，得证。

3-5

a. 只要证明f(n)=O(g(n))f(n)=O(g(n))的补集包含于f(n)=Ω∞(g(n))f(n)=Ω∞(g(n))中即可。f(n)=O(g(n))f(n)=O(g(n))表示存在正常数c,n0c,n0对所有n≥n0n≥n0都有f(n)≤cg(n)f(n)≤cg(n)，那么他的补集是不存在常数c,n0c,n0对所有n≥n0n≥n0都有f(n)≤cg(n)f(n)≤cg(n)，显然包含于f(n)=Ω∞(g(n))f(n)=Ω∞(g(n))中，因为如果存在正常数c对有限个n的话成立的话，就能找到一个n0n0大于有限个n中最大的那个，使得f(n)≤cg(n)f(n)≤cg(n)成立。但是如果换成Ω(g(n))Ω(g(n))的话，3-3b中的例子就是个反例。

b. 用符号Ω(f(n))Ω(f(n))可以保证在n足够大的情况下算法复杂度都不低于f(n)f(n)，即最好的情况下也不低于f(n)f(n)。而使用符号Ω∞(f(n))Ω∞(f(n))则表示该算法在很多时候复杂度都不低于f(n)f(n)，但在某些比较好的情况下有可能会低于f(n)f(n)。

c. 没有变化？求指教

d.

Ω~(g(n))={f(n):∃c,k,n0>0对∀n≥n0有0≤cg(n)lgk(n)≤f(n)}Ω~(g(n))={f(n):∃c,k,n0>0对∀n≥n0有0≤cg(n)lgk⁡(n)≤f(n)}

Θ~(g(n))={f(n):∃c1,c2,k,n0>0对∀n≥n0有0≤c1g(n)lgk(n)≤f(n)≤c2g(n)lgk(n)}Θ~(g(n))={f(n):∃c1,c2,k,n0>0对∀n≥n0有0≤c1g(n)lgk⁡(n)≤f(n)≤c2g(n)lgk⁡(n)}
定理3.1由定义可知。

3-6

a. Θ(n)Θ(n)

b. Θ(lg∗n)Θ(lg∗⁡n)

c. Θ(lgn)Θ(lg⁡n)

d. Θ(lgn)Θ(lg⁡n)

e. Θ(lglgn)Θ(lg⁡lg⁡n)

f. ∞∞

g. Θ(lglgn)Θ(lg⁡lg⁡n)

h. 不会，求指教