IEEE754浮点数的表示方法
2016-01-09 17:08
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1.浮点数的存储格式
浮点数在C/C++中对应float和double类型,我们有必要知道浮点数在计算机中实际存储的内容。IEEE754标准中规定float单精度浮点数在机器中表示用 1 位表示数字的符号,用 8 位来表示指数,用23 位来表示尾数,即小数部分。对于double双精度浮点数,用 1 位表示符号,用 11 位表示指数,52 位表示尾数,其中指数域称为阶码。IEEE 浮点值的格式如下图所示。
注意,IEE754规定浮点数阶码E采用”指数e的移码-1”来表示,请记住这一点。为什么指数移码要减去1,这是IEEE754对阶码的特殊要求,以满足特殊情况,比如对正无穷的表示。
2.浮点数的规格化
若不对浮点数的表示作出明确的规定,同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如(1.75)10可以表示成1.11×20,0.111×21,0.0111×22等多种形式。当尾数不为0时,尾数域的最高有效位为1,这称为浮点数的规格化。否则,以修改阶码同时左右移动小数点位置的办法,使其成为规格化数的形式。2.1单精度浮点数真值
IEEE754标准中,一个规格化32位的浮点数x的真值表示为:x=(−1)S×(1.M)×2e
e=E−127
其中尾数域表示的值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最左位总是1,故这一位不予存储,而认为隐藏在小数点的左边。
在计算指数e时,对阶码E的计算采用源码的计算方式,因此32位浮点数的8bits的阶码E的取值范围是0到255。其中当E为全0或者全1时,是IEEE754规定的特殊情况,下文会另外说明。
2.2双精度浮点数真值
64位的浮点数中符号为1位,阶码域为11位,尾数域为52位,指数偏移值是1023。因此规格化的64位浮点数x的真值是:x=(−1)S×(1.M)×2e
e=E−1023
3.移码
移码(又叫增码)是对真值补码的符号位取反,一般用作浮点数的阶码,引入的目的是便于浮点数运算时的对阶操作。对于定点整数,计算机一般采用补码的来存储。正整数的符号位为0,反码和补码等同于源码。
负整数符号位都固定为1,源码,反码和补码的表示都不相同,由原码表示法变成反码和补码有如下规则:
(1)源码符号位为1不变,整数的每一位二进制数位求反得反码;
(2)反码符号位为1不变,反码数值位最低位加1得补码。
比如,以一个字节8bits来表示-3,那么[−3]原=10000011,[−3]反=11111100,[−3]补=11111101,那么-3的移码就是[−3]移=01111101。
如何将移码转换为真值-3呢?先将移码转换为补码,再求值。
4.浮点数的具体表示
4.1十进制到机器码
(1)0.50.5=(0.1)2,符号位S为0,指数为e=−1,规格化后尾数为1.0。
单精度浮点数尾数域共23位,右侧以0补全,尾数域:
M=[000 0000 0000 0000 0000 0000]2
阶码E:
E=[−1]移−1=[0111 1111]2−1=[0111 1110]2
对照单精度浮点数的存储格式,将符号位S,阶码E和尾数域M存放到指定位置,得0.5的机器码:
0.5=[0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000]2。
十六进制表示为0.5=0x3f000000。
(2)1.5
1.5=[1.1]2,符号位为0,指数e=0,规格化后尾数为1.1。
尾数域M右侧以0补全,得尾数域:
M=[100 0000 0000 0000 0000 0000]2
阶码E:
E=[0]移−1=[10000000]2−1=[01111111]2
得1.5的机器码:
1.5=[0011 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000]2
十六进制表示为1.5=0x3fc00000。
(3)-12.5
−12.5=[−1100.1]2,符号位S为1,指数e为3,规格化后尾数为1.1001,
尾数域M右侧以0补全,得尾数域:
M=[100 1000 0000 0000 0000 0000]2
阶码E:
E=[3]移−1=[1000 0011]2−1=[1000 0010]2
即-12.5的机器码:
−12.5=[1100 0001 0100 1000 0000 0000 0000 0000]2
十六进制表示为-12.5=0xc1480000。
用如下程序验证上面的推算,代码编译运行平台Win32+VC++ 2012:
#include <iostream> using namespace std; int main(){ float a=0.5; float b=1.5; float c=-12.5; unsigned int* pa=NULL; pa=(unsigned int*)&a; unsigned int* pb=NULL; pb=(unsigned int*)&b; unsigned int* pc=NULL; pc=(unsigned int*)&c; cout<<hex<<"a=0x"<<*pa<<endl; cout<<hex<<"b=0x"<<*pb<<endl; cout<<hex<<"c=0x"<<*pc<<endl; return 0; }
输出结果:
验证正确。
4.2机器码到十进制
(1)若浮点数x的IEEE754标准存储格式为0x41360000,那么其浮点数的十进制数值的推演过程如下:0x41360000=[0 10000010 011 0110 0000 0000 0000 0000]
根据该浮点数的机器码得到符号位S=0,指数e=阶码-127=1000 0010-127=130-127=3。
注意,根据阶码求指数时,可以像上面直接通过 “阶码-127”求得指数e,也可以将阶码+1=移码,再通过移码求其真值便是指数e。比如上面阶码10000010+1=10000011[移码]=>00000011[补]=3(指数e)。
包括尾数域最左边的隐藏位1,那么尾数1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011。
于是有:
x=(−1)S×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10
通过代码同样可以验证上面的推算:
#include <iostream> using namespace std; int main(){ unsigned int hex=0x41360000; float* fp=(float*)&hex; cout<<"x="<<*fp<<endl; return 0; }
输出结果:
验证正确。
5.浮点数的几种特殊情况
(1)0的表示对于阶码为0或255的情况,IEEE754标准有特别的规定:
如果 阶码E=0并且尾数M是0,则这个数的真值为±0(正负号和数符位有关)。
因此+0的机器码为:0 00000000 000 0000 0000 0000 0000。
-0的机器码为:1 00000000 000 0000 0000 0000 0000。
需要注意一点,浮点数不能精确表示0,而是以很小的数来近似表示0。因为浮点数的真值等于(以32bits单精度浮点数为例):
x=(−1)S×(1.M)×2e
e=E−127
那么+0的机器码对应的真值为1.0×2−127。同理,-0机器码真值为−1.0×2−127。
(2)+∞和−∞的表示
如果阶码E=255 并且尾数M全是0,则这个数的真值为±∞(同样和符号位有关)。因此+∞的机器码为:0 11111111 000 0000 0000 0000 0000。-∞的机器吗为:1 11111111 000 0000 0000 0000 0000。
(3)NaN(Not a Number)
如果 E = 255 并且 M 不是0,则这不是一个数(NaN)。
6.浮点数的精度和数值范围
6.1浮点数的数值范围
根据上面的探讨,浮点数可以表示-∞到+∞,这只是一种特殊情况,显然不是我们想要的数值范围。以32位单精度浮点数为例,阶码E由8位表示,取值范围为0-255,去除0和255这两种特殊情况,那么指数e的取值范围就是1-127=-126到254-127=127。
(1)最大正数
因此单精度浮点数最大正数值的符号位S=0,阶码E=254,指数e=254-127=127,尾数M=111 1111 1111 1111 1111 1111,其机器码为:0 11111110 111 1111 1111 1111 1111 1111。
那么最大正数值:
PosMax=(−1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×2127≈3.402823e+38
这是一个很大的数。
(2)最小正数
最小正数符号位S=0,阶码E=1,指数e=1-127=-126,尾数M=0,其机器码为0 00000001 000 0000 0000 0000 0000 0000。
那么最小正数为:
PosMin=(−1)S×1.M×2e=+(1.0)×2−126≈1.175494e−38
这是一个相当小的数。几乎可以近似等于0。当阶码E=0,指数为-127时,IEEE754就是这么规定1.0×2−127近似为0的,事实上,它并不等于0。
(3)最大负数
最大负数符号位S=1,阶码E=1,指数e=1-127==-126,尾数M=0,机器码与最小正数的符号位相反,其他均相同,为:1 00000001 000 0000 0000 0000 0000 0000。
最大负数等于:
NegMax=(−1)S×1.M×2e=−(1.0)×2−126≈−1.175494e−38
(4)最小负数
符号位S=0,阶码E=254,指数e=254-127=127,尾数M=111 1111 1111 1111 1111 1111,其机器码为:1 11111110 111 1111 1111 1111 1111 1111。
计算得:
NegMin=(−1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×2127=−3.402823e+38
6.2浮点数的精度
说道浮点数的精度,先给精度下一个定义。浮点数的精度是指浮点数的小数位所能表达的位数。阶码的二进制位数决定浮点数的表示范围,尾数的二进制位数表示浮点数的精度。以32位浮点数为例,尾数域有23位。那么浮点数以二进制表示的话精度是23位,23位所能表示的最大数是223−1=8388607,所以十进制的尾数部分最大数值是8388607,也就是说尾数数值超过这个值,float将无法精确表示,所以float最多能表示小数点后7位,但绝对能保证的为6位,也即float的十进制的精度为为6~7位。
64位双精度浮点数的尾数域52位,因252−1=4,503,599,627,370,495,所以双精度浮点数的十进制的精度最高为16位,绝对保证的为15位,所以double的十进制的精度为15~16位。。
7.小结
本文操之过急,但也花了将近一天的时间,难免出现编辑错误和不当说法,请网友批评指正。不明之处,欢迎留言交流。对浮点数的乘法、除法运算还未涉及,后续可能会去学习并记录学习所得,与大家分享。参考文献
[1]移码.百度百科[2]关于IEEE754标准浮点数阶码的移码.百度知道
[3]计算机组成原理第四版[M].白中英.科学出版社:P16-P30
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