POJ 3417 Network（在线倍增LCA+树形DP）

Description

先给出一棵有n个节点的无根树，然后下面再给出m条边，把这m条边连上，现在可以去掉一条树边和一条新边，问有多少种方案能使树断裂

Input

第一行为两个整数n和m分别表示树的节点数和新加的边数，之后n-1行每行两个整数a和b表示树的边，最后m行每行两个整数a和b表示在节点a和节点b之间加一条新边

Output

输出删去一条树边和一条新边能够使得树断裂的方案数

Sample Input

4 1

1 2

2 3

1 4

3 4

Sample Output

3

Solution

每加一条新边u-v树必成环u-lca(u,v)-v-u，给这个环上的所有树边覆盖数加一，加完新边之后，考虑树边的覆盖数：

如果一条树边的覆盖数大于1，那么显然这条树边是牢固的，即删去这条树边再删去任一条新边树都不会断裂；

如果一条树边的覆盖数为1，那么删去这条树边之后，只有再同时删去产生这个覆盖数的那条新边，树才会断裂，所以方案数加一；

如果一条树边的覆盖数为0，那么删去这条树边之后，任意删去一条新边树都会断裂，方案数加m；

那么如何统计一条边的覆盖数？首先给树固定一个方向，不妨选1节点为树根，令dp[i]表示以i为终点（在树中深度较深的点）的边的覆盖数，那么每次加一条新边u-v，只要更新u-lca(u,v)和v-lca(u,v)两条路径上的边即可，这里类似前缀和优化，dp[u]++,dp[v]++,dp[lca(u,v)]-=2，那么在操作完后深搜一遍整棵树在回溯的时候利用树形DP，dp[fa]+=sum(dp[son])即可得到每条边的覆盖数

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 111111
struct node
{
int to,next;
}edge[2*maxn];
int deep[maxn],p[maxn][55],vis[maxn],head[maxn],tot,dp[maxn];
void init()
{
tot=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(deep,0,sizeof(deep));
memset(p,-1,sizeof(p));
memset(dp,0,sizeof(dp));
}
void add(int u,int v)
{
edge[tot].to=v;
edge[tot].next=head[u];
head[u]=tot++;
}
void dfs(int u)
{
vis[u]=1;
for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(!vis[v])
{
p[v][0]=u;
deep[v]=deep[u]+1;
dfs(v);
}
}
}
void rmq(int n)
{
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
for(int i=1;i<=n;i++)
if(~p[i][j-1])
p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];
}
int lca(int a,int b)
{
int i,j;
if(deep[a]<deep[b])swap(a,b);
for(i=0;(1<<i)<=deep[a];i++);
i--;
for(j=i;j>=0;j--)
if(deep[a]-(1<<j)>=deep[b])
a=p[a][j];
if(a==b)return a;
for(j=i;j>=0;j--)
if(p[a][j]!=-1&&p[a][j]!=p[b][j])
a=p[a][j],b=p[b][j];
return p[a][0];
}
void goto_dp(int u)
{
vis[u]=1;
for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(!vis[v])
{
goto_dp(v);
dp[u]+=dp[v];
}
}
}
int main()
{
int n,m,u,v;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
init();
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v),add(v,u);
}
dfs(1);
rmq(n);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
dp[u]++,dp[v]++,dp[lca(u,v)]-=2;
}
memset(vis,0,sizeof(vis));
goto_dp(1);
int ans=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
if(dp[i]==0)ans+=m;
else if(dp[i]==1)ans++;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}