计数dp hdu 4055 Number String

嗯，什么是计数dp我也不知道，这是第一次遇见类似的题目。

题意：给一个只含‘I','D','?'三种字符的字符串，I表示当前数字大于前面的数字，D表示当前的数字小于前面一位的数字，？表示当前位既可以小于又可以大于。问1~n的排列中有多少个满足该字符串。

分析：看题意就觉得像是dp，果然是的。dp[i][j]表示的是前i个数字的排列中以数字j结尾的排列个数。

那么递推关系是什么呢。

当str[i-1] == 'I' 时表示第i为的数字大于i-1位的数字，我们可以看到，dp[i][j] = dp[i-1][1]+dp[i-1][2]+......+dp[i-1][j-1];

当str[i-1] == 'D' 时表示第i为的数字小于i-1位的数字，我们可以看到，dp[i][j]
= dp[i-1][j+1]+dp[i-1][j+2]+......+dp[i-1][i]; 但是我们可以注意到，

dp[i-1][i]是不存在的，前i-1个数字中是不会有i数字出现的。我们考虑到，将前i-1个数字的所有排列中，大于等于j的数字都加1的话，是不会改变排列方案数的，所以这时候dp[i][j]
= dp[i-1][j]+dp[i-1][j+1]+......+dp[i-1][i-1];

但是这样的话复杂度是O(n^3)，会超时，所以我们增加一个数组sum[i][j]来记录前缀和就可以了。sum[i][j]
表示的是dp[i][1]+dp[i][2]+......+dp[i][j]

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define mod 1000000007
int const maxn = 1005;
char str[maxn];
long long dp[maxn][maxn];
long long sum[maxn][maxn];
//dp[i][j] 表示的是前i个数字的排列中以数字j结尾的排列个数
//sum[i][j] 表示的是dp[i][1]+dp[i][2]+......+dp[i][j]

int main()
{
while(scanf("%s",str+1)!=EOF)
{
int n = strlen(str+1)+1;
//要计算的长度比字符串的长度大1
dp[1][1] = 1 ; //一个数字以1结尾有一种情况
sum[1][1] = 1 ;
for(int i = 2 ; i <= n ; i++)
{
for(int j = 1 ; j <= i ; j++)
{
if(str[i-1]=='I')
{
dp[i][j] = sum[i-1][j-1];
}
else if(str[i-1]=='D')
{
dp[i][j] = ( sum[i-1][i-1] - sum[i-1][j-1] + mod ) % mod ;
}
else dp[i][j] = sum[i-1][i-1] ;
sum[i][j] = (dp[i][j] + sum[i][j-1] + mod ) % mod ;
}
}
printf("%I64d\n",sum

);
}
return 0;
}