【斜率DP】BZOJ 1010:玩具装箱
2015-12-29 18:25
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1010: [HNOI2008]玩具装箱toy
Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 7537 Solved: 2888
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Description
P教授要去看奥运,但是他舍不下他的玩具,于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩,其可以将任意物品变成一堆,再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具,第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理,P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具,那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物,形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中,那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关,根据教授研究,如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目,他可以制作出任意长度的容器,甚至超过L。但他希望费用最小.Input
第一行输入两个整数N,L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7Output
输出最小费用Sample Input
5 43
4
2
1
4
Sample Output
1很久没有写过BLOG了的说..
最近在学各种DP系列,比较无聊所以来写几发题解吧。
首先转化问题。
我们发现选j+1-i的所有玩具装一箱要(i-j-1+Sigma(Ck) -L)^2
相当于(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^2.
所以我们预处理前缀和什么的,然后设s[i]=sum[i]+i,m[i]=s[i]-1-L.
然后答案就是(m[i]-s[j])^2.
而转移应该很简单:f[i]=min(f[j]+(m[i]-s[j])^2).
但是这样的转移还是需要O(n^2)。
我们需要优化。
我们先假设决策j是要好于k的。
则有
然后可以用队列维护一个凸性的函数。
O(1)转移。
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 #include<queue> 6 7 #define maxn 50001 8 9 using namespace std; 10 11 long long sum[maxn],M[maxn],f[maxn]; 12 13 int n,L,que[50001],head=1,tail=1; 14 15 double K(int x,int y){return ((double)f[x]+sum[x]*sum[x]-f[y]-sum[y]*sum[y])/(double)(sum[x]-sum[y])*1.0;} 16 17 void DP() 18 { 19 for(int i=1;i<=n;i++) 20 { 21 while(head<tail&&K(que[head],que[head+1])<=2*M[i])head++; 22 int sb=que[head]; 23 f[i]=f[sb]+(M[i]-sum[sb])*(M[i]-sum[sb]); 24 while(head<tail&&K(que[tail],i)<=K(que[tail-1],que[tail]))tail--; 25 que[++tail]=i; 26 } 27 printf("%lld",f ); 28 } 29 30 int main() 31 { 32 freopen("1010.in","r",stdin); 33 scanf("%d%d",&n,&L); 34 for(int i=1;i<=n;i++) 35 scanf("%lld",&sum[i]),sum[i]+=sum[i-1]+1,M[i]=sum[i]-L-1; 36 DP(); 37 return 0; 38 }
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