线性拟合——从最大似然估计到平方误差到huber loss

考虑这样一些数据：

x = np.array([0,  3,  9, 14, 15, 19, 20, 21, 30, 35,
40, 41, 42, 43, 54, 56, 67, 69, 72, 88])
# x
# x_i
y = np.array([33, 68, 34, 34, 37, 71, 37, 44, 48, 49,
53, 49, 50, 48, 56, 60, 61, 63, 44, 71])
# y
# y_i
e = np.array([3.6, 3.9, 2.6, 3.4, 3.8, 3.8, 2.2, 2.1, 2.3, 3.8,
2.2, 2.8, 3.9, 3.1, 3.4, 2.6, 3.4, 3.7, 2.0, 3.5])
# e
# e_i

作如下的可视化：

plt.errorbar(x, y, e, fmt='ok', ecolor='gray', alpha=.4)

上图可见数据中存在一些离群点（outliers）。

作如下的简单建模（linear model）：

y^(x|θ)=θ0+θ1x

在这一模型下（Given this model），我们可以分别对每一个点计算高斯型似然（Gaussian Likelihood）：

p(xi,yi,ei|θ)∝exp(−12e2i(yi−y^(xi|θ))2)

则全体样本D的对数似然为：

logL(D|θ)=const−∑i=1n12e2i(yi−y^(xi|θ))2

所谓最大似然，即是maximum 这一对数似然值，已获得相关参数。从优化的观点看，最大化该似然函数，等价于最小化和式项（summation term），该项被称为损失函数：

L=∑i=1n12e2i(yi−y^(xi|θ))2

该表达式即是著名的平方误差（squared loss），也即我们从高斯对数似然（Gaussian Log Likelihood）推导出了经典的平方误差（Squared Loss）的形式。

接下来我们使用两种方式进行目标函数的求解：

法一：使用scipy的最优化工具箱optimize：

from scipy import optimize

def squared_loss(theta, x=x, y=y, e=e):
dy = (y-(theta[0]+theta[1]*x))/e
return np.sum(dy**2/2)

theta = optimize.fmin(squared_loss, [0, 0], disp=False)

print('theta: ', theta)
# theta: [ 39.69978468   0.23621066]

plt.figsize(figsize=(6, 4.5))

plt.errorbar(x, y, e, fmt='ok', ecolor='gray', alpha=.4)

xfit = np.linspace(0, 100)
plt.plot(xfit, theta[0]+theta[1]*fit, -k)
plt.title('Maximum Likelihood fit: Squared Loss')

plt.savefig('./imgs/linear_fit1.png')
plt.show()

最终得到的θ：theta: [ 39.69978468 0.23621066]

法二：使用矩阵运算

为了后续矩阵运算的方便，我们首先需要对输入样本矩阵（这里为一维）做一次增广（augmentation）：

x_aug = np.hstack((np.ones((len(x), 1)), x.reshape((-1, 1))))

考虑如下的优化问题：

L=argminθ∥y−Xθ∥22

我们可轻松地将之对θ求导（∂L∂θ=0）置零求解，以获得θ的解析解（analytical solution，或者叫closed-form solution）：

2XT(Xθ−y)=0θ=(XTX)−1XTyθ=X†y

p_inv = np.dot(np.linalg.inv(np.dot(x_aug.T, x_aug)), x_aug.T)
theta = np.dot(p_inv, y)
print('theta:', theta)

可视化的代码一如上例，显示如下：



最终得到的θ为，theta [ 41.16631145 0.25294549]

从squared loss到huber loss

从前面的可视化的拟合直线可以看出：通过最小化平方误差得到的拟合直线对离群点具有较高的敏感性，Huber loss is less sensitive to outliers in data than the squared error loss.

Lδ(y,f(x))=⎧⎩⎨12(y−f(x))2,δ⋅(|y−f(x)|−δ/2),for |y−f(x)|≤δotherwise.

def huber_loss(res, delta):
return (abs(res)<delta)*res**2/2 + (abs(res)>delta)*delta(abs(res)-delta/2)

def total_huber_loss(theta, x=x, y=y, e=e, delta=3):
return huber_loss((y-(theta[0]+theta[1]*x))/e, delta).sum()

theta1 = optimize.fmin(total_huber_loss, [0, 0], disp=False)
...