监督学习之广义线性模型——Andrew Ng机器学习笔记（三）

内容提要

这篇博客的主要内容有

- 牛顿法

- 指数分布族（Exponential Family）

- 广义线性模型（Generalized Linear Models）

- Softmax Regression

牛顿法

首先我们先看一个简单的例子。

定义函数f:R→R，自变量为θ。我们现在找一个θ使得f(θ)=0。

牛顿法的思想就是利用一阶导数的定义，得到θ的迭代关系。如下图示意：



根据导数的定义，我们就可以得到：

f′(θ(1))=f(θ(1))/ΔΔ=f(θ(1))/f′(θ(1))θ(2)=θ(1)−Δ

从而我们就可以得到一般的迭代公式：

θ(k+1)=θ(k)−Δ其中Δ=f(θ(k))/f′(θ(k))

回顾前面的对数似然函数，我们都是要求它的最大值，即就是要寻找一个参数θ使得对数似然函数的导数为零，即l′(θ)=0

- 当θ为一维向量时，我们利用牛顿法的思想可以得到更新规则为：

θ:=θ−l′(θ)/l′′(θ)

因为我们举得例子是对函数零阶导时为0，求参数。这里我们是函数一阶导数的情况，用同样的思想将式子中对应的量替换掉就可以了。

- 当θ为一个大于一维的向量时，我们得到的迭代规则为：



其中H为Hessian矩阵：



你也可以参看最优化的教程，就会发现，牛顿法一般只需要一部迭代就可以得到最优解。但是牛顿法最大的问题就是Hessian矩阵的逆，并不是总可以得到，或者逆求逆的计算量非常大，最优化中有一章专门就是解决这个问题。解决的基本思路就是用一个矩阵B去近似Hessian矩阵。

指数分布族（Exponential Family）

族的概念在高等数学中就有。我们这里的指数分布族，和之前的所讲的族的概念是一样的。下来我们首先看看指数分布族的一般表达式：



其中

- η为自然参数（natural parameter or canonical parameter）

- T(y)为充分统计量（sufficient statistic），一般情况下，T(y)=y

- 当给定a,b,T;η为参数时就可以得到一个确定的分布

事实上我们之前说过的逻辑回归就是指数分布族的特例。还有伯努利分布P(y=1;ϕ)=1，正态分布都是指数分布族的特例。除此之外还有很多。

下面我们来说明为什么伯努利分布，高斯分布是指数分布族的特例。其实就是给出这些特例分布对应的a,b,T

伯努利分布

当y∈0,1时，可以如下的方式表达：



利用逻辑回归同样的思想，可以将表达式进行如下简写，同时向指数分布族的样子凑：



凑完之后，我们根据指数分布族的样子就可以在式子中找到a,b,T：



同时我们还可以得到η和ϕ之间的关系：





这样我们就可以利用参数η来表示指数分布族中的a,b,T了，这就是上面式子中a(η)=log(1+eη)的原因，同时这也说明了伯努利分布是指数分布族的一个特例。下面我们来看高斯分布。

高斯分布

我们之前推导最小二乘回归的时候发现σ2其实不重要，如下：



我们最终利用求目标函数极值的方法去求解参数θ。这里可以看到与σ没有多大关系。所以我们可以令σ2=1

利用和伯努利分布同样的思想，可以得到下面的式子：



再和指数分布族的通式进行比对，就会得到相应a,b,T：



多元高斯分布也是指数分布族的特例。同样泊松分布也是，指数分布就更不用说。

广义线性模型（Generalized Linear Models（GLM））

在这一部分我想说明如何利用指数分布族。首先我们先做如下的假设：

1. y|x;θ∼ExpFamily(η)，这个式子的理解是：在确定x输入并有特征θ的情况下，y服从自然参数η的指数分布族。一般，η有x和θ确定。

2. 给定x，估计函数定义为：h(x)=E[T(y)|x;θ]，一般T(y)=y

3. η=θTx，如果η是向量则：ηi=θTx

在假设一中（y|x;θ∼ExpFamily(η)），先取一个特例：伯努利分布，它的参数为ϕ,然后估计函数(响应函数)就可以写成：hθ(x)=E(y|x;θ)=P(y=1|x:θ)=ϕ，其中用到了伯努利分布的期望，它的期望就等于事件发生的概率，即参数ϕ。我们上面有伯努利分布的指数分布的表达形式，可以知道ϕ=(1+e−η)−1，最终就可以得到hθ(x)=(1+e−θTx)−1

术语介绍：

g(η)=E[y|η]=(1+e−η)−1，这称之为：正则响应函数

g(η)−1，称为：正则关联函数

另外一个特例：输入值x∼N(μ,σ2)，我们让μ=η,可以得到响应函数如下关系：

多项式分布

前面我们说过逻辑回归，其中讲的例子是一个二元分类，但是实际当中往往是多元分类问题。



那么y∈{0,1}就无法满足要求，下来我们就看一个y∈{1,2...k}的问题。

给定参数ϕ1,ϕ2...ϕk,即y取某一个值时的概率。利用概率的基本知识就可以得到：



在这里T(y)≠y而是T(y)∈Rk−1，一般做如下定义：



指示器函数 1{true}=1;1{false}=0，利用指示器函数我们可以对T(y)进行简写：(T(y)i)=1{y=i}

其实对于每一个y的取值，就可以看成是一个伯努利分布。所以可以得到下面的表达：



同样的我们将y的分布向指数分布族靠近：



其中：



和前面的一样，η和ϕ之间存在着函数关系：



就可以做如下推导：



就可以得到：



再根据（1）式就可以得到：



那么y的概率表达式就可以改写成：

Softmax Regression

根据上面的推导我们就可以介绍Softmax Regression了。对于一个分类问题，y∈{1,2...k},当η=θTx时，响应函数为：



特别的E[y=k|x;θ]=P(y=k|x;θ)=1−∑k−1i=1ϕi

如果我们的训练集大小为m：{(x(i),y(i));i=1,2...m}，我们写出对应的对数似然函数：



上面的式子是Andrew Ng老师给的，我自己进行了下面的推导：



有似然函数的梯度之后，我们就可以利用梯度上升的方式去迭代θ了。

可以看出Softmax Regression是对逻辑回归的推广，可以处理多元分类问题。Sortmax Regression就是一个广义线性模型的算法。我自己理解的，为什么这种算法会被列为广义线性模型的例子，原因是，对于每一个η=θTx这是线性的，但是整体而言又是伯努利分布。广义的原因就是在线性的外面套了一层，线性已经不是单纯的线性了。

end