数据结构和算法经典100题-第22题

题目要求：

排成一条线的纸牌博弈问题

给定一个整形数组arr,代表数值不同的纸牌排成一条线。玩家A和玩家B依次拿走每张纸牌，规定玩家A先拿，玩家B后拿，但每个玩家每次只能拿走最左或最右的纸牌，玩家A和玩家B都绝顶聪明，请返回最后获胜者的分数。

解题分析：

假设数组int arr
，设函数f(i,j)表示数列a[i…j]序列被“先手拿”最终得分；假设g(i,j)表示数列a[i…j]序列“后手拿”最终得分。

分析可知f(i,j) = max{g(i+1,j)+arr[i], g(i,j-1)+arr[j]};

g(i,j) = min{f(i+1,j), f(i,j-1)}; (说明：因为双方都绝顶聪明，所以假设A先手，B后手，A一定把两种情况中小的留给后手选手)

在分析完题目后，我们发现这是一个递归问题，可以暴力递归直接解这个问题，代码如下：

class Game {
public:
Game(std::vector<int> &ivecArray) : m_ivecArr(ivecArray) {};
~Game() {};
int getScore();
int f(int i, int j);
int g(int i, int j);
private:
std::vector<int> &m_ivecArr;
};

int Game::f(int i, int j) {
if (i == j) {
return m_ivecArr[i];
}

return max<int>( (m_ivecArr[i] + g(i+1, j)), (m_ivecArr[j] + g(i, j-1)) );
}

int Game::g(int i, int j) {
if (i == j) {
return 0;
}

return min<int>( f(i+1, j),  g(i, j-1) );
}

int Game::getScore() {
if (ivecArr.empty()) {
return 0;
}

return max<int>(f(0,(ivecArr.size()-1)) , g(0,ivecArr.size()-1));
}

然后我们分析一下时间复杂度和空间复杂度。

——————-假设数组长度为N——————————

时间复杂度：O(2ˆN)——因为每个递归的递推式都是：左1=右2

空间复杂度：O(N)；

于是想到了动态规划打表，把重复的计算存起来，代码如下：

int getScore(std::vector<int> &ivecArr) {
if (ivecArr.empty()) {
return 0;
}

// 空间复杂度O(Nˆ2)
int length = (int)(ivecArr.size() -1);
int fScore[length+1][length+1];
int gScore[length+1][length+1];

for (int i = 0; i <= length; i++) {
for (int j = 0; j <=length; j++) {
fScore[i][j] = 0;
gScore[i][j] = 0;
}
}

// 时间复杂度O(Nˆ2)
for (int j = 0; j <= length; ++j) {
fScore[j][j] = ivecArr[j];

for (int i = j-1; i >= 0; i--) {
fScore[i][j] = max<int>((gScore[i+1][j] + ivecArr[i]), (gScore[i][j-1] + ivecArr[j]));
gScore[i][j] = min<int>(fScore[i+1][j] , fScore[i][j-1]);
}
}

return max<int>(fScore[0][length],gScore[0][length]);
}

int main(void) {
int iarray[] = {1,100,2};
size_t size = sizeof(iarray) / sizeof(int);
vector<int> ivecArray(iarray,iarray+size);

cout<<"Test case 1 :socre = "<<getScore(ivecArray)<<endl;
}

此方法的时间复杂度O(Nˆ2)—两次遍历；

空间复杂度O(Nˆ2)—打表占的空间；

OKay,完整源码附在下面：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

#ifdef _METHOLD_1_
class Game {
public:
Game(std::vector<int> &ivecArray) : m_ivecArr(ivecArray) {};
~Game() {};
int getScore();
int f(int i, int j);
int g(int i, int j);
private:
std::vector<int> &m_ivecArr;
};

int Game::f(int i, int j) {
if (i == j) {
return m_ivecArr[i];
}

return max<int>( (m_ivecArr[i] + g(i+1, j)), (m_ivecArr[j] + g(i, j-1)) );
}

int Game::g(int i, int j) {
if (i == j) {
return 0;
}

return min<int>( f(i+1, j),  g(i, j-1) );
}

int Game::getScore() {
if (ivecArr.empty()) {
return 0;
}

return max<int>(f(0,(ivecArr.size()-1)) , g(0,ivecArr.size()-1));
}

#else

int getScore(std::vector<int> &ivecArr) {
if (ivecArr.empty()) {
return 0;
}

int length = (int)(ivecArr.size() -1);
int fScore[length+1][length+1];
int gScore[length+1][length+1];

for (int i = 0; i <= length; i++) {
for (int j = 0; j <=length; j++) {
fScore[i][j] = 0;
gScore[i][j] = 0;
}
}

for (int j = 0; j <= length; ++j) {
fScore[j][j] = ivecArr[j];

for (int i = j-1; i >= 0; i--) {
fScore[i][j] = max<int>((gScore[i+1][j] + ivecArr[i]), (gScore[i][j-1] + ivecArr[j]));
gScore[i][j] = min<int>(fScore[i+1][j] , fScore[i][j-1]);
}
}

return max<int>(fScore[0][length],gScore[0][length]);
}

#endif
int main(void) {
int iarray[] = {1,100,2};
size_t size = sizeof(iarray) / sizeof(int);
vector<int> ivecArray(iarray,iarray+size);

cout<<"Test case 1 :socre = "<<getScore(ivecArray)<<endl;
}

路漫漫其修远兮，吾将上下…