优先堆也可以用链表

摘要: priority heap通常都是数组实现的，本文尝试用链表实现。没有具体代码，有了算法思想很容易实现的，我就不献丑了。

priority heap通常是以数组来实现的，用数组下标作为堆的序号来实现heap。但是在C语言中数组是不能改变大小的（新标准里可能可以改变哈），于是便不能动态地增加堆的大小。

于是想到链表动态增加的特•。链表实现优先堆的难点在于，堆序的乘2除2操作要求能即时获得数组下标，而链表不能随机存取只能顺序存取，对于DeleteMin操作，getMin很容易，只要保存了Child和Parent节点的指针，上滤操作也没什么难度。但是Insert操作就呵呵了，因为并不知道当前堆的末尾在哪，遍历寻至末尾的话，复杂度又上升至O(N^2)。BuildHeap更不用说。

先看看堆树的特点

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15

...

显然，对于堆序而言，序号确定了，在堆树中的位置也确定了。由此可见，如果知道当前堆的元素个数，那么最后一个元素的位置也就确定了。但是怎样找到这个位置呢？我在火车上睡不着，想出了这个方法。。。

先将序号转化成二进制：

1

10 | 11

100 101 | 110 111

1000 1001 1010 1011 | 1100...

...

用|来分隔树的左右两边。

观察后可以得出，位于左半部分的最高两位都是10，位于右半部分的最高两位都是11。

这是显然的，除开根的序号，对于堆树的每一层而言，左边部分的第一个，都是2、4、8、16...2^D。右边部分第一个都是3、6、12... 2^D+2^(D-1)，也就是左边部分的序号加上这一层的节点个数的一半，就处于右边部分了：2+1，4+2，8+4，16+8...，换成二进制就是10XXX...+01XXX...=11XXX...，这就是前面观察的结论了。

首先要想到堆树是个二叉树，从根开始，不断地向左子树或者右子树寻找，便可以最终到达树底下，中途无非就是个判断是左还是右的问题。联系上面的观察结果，算法就很明朗了：

确定一个数处于堆树中的哪个位置，只要先把这个数用二进制表示，不断左移，取溢出位，从遇到的第一个1开始(第一个1表示遇到根了)，遇到一个0便转向左子树，遇到一个1便转向右子树。简言之就是遇0则左，遇1则右。这个算法具有递归性，对子树又实施本算法，当到达叶子节点时，这个数便左移完了，这时也正好到达这个数在堆树中的位置。

所以，如果知道了堆的大小，便知道了如何从根走到末尾的位置，也就知道了新元素要Insert的位置。显然，这个算法的复杂度是```
这里输入代码
NlogN的。代价是需要两个指针变量来指向LeftChild和RightChild，以及还要维持一个Parent指针，用来实现插入之后的上滤操作。

所以堆树节点的结构体可以是：

struct Node
{
ElementType Element;
Node * LeftChild;
Node * RightChild;
Node * Parent;
}Node;

因为堆树的位置是相对固定的，所以在进行Insert后的上滤操作和DeleteMin后的下滤操作时，在需要交换的地方，只交换Element就可以了，不必交换Node指针。可以想象成堆树就是一个框，元素就是放在框中的东西，交换时只交换东西而不必交换整个框。数组和链表的两种实现，不同之处在于数组实现的优先堆是用数组下标作为框，链表实现的优先堆是用结构体作为框而已。

实际上，数组实现的优先堆中，乘二和除二操作正是左移和右移运算。

实现了Insert操作，BuildHeap可以用Insert来间接实现，从一个空的堆树开始逐个Insert就可以了。有了LeftChild和RightChild以及Parent，DeleteMin的上滤操作也很容易实现。