0-1背包----完全背包

0-1背包使用一维数组

使用滚动数组将空间优化到了2*V，在背包九讲中提到了使用一维数组也可以达到同样的效果，个人认为这也是滚动思想的一种，由于使用一维数组解01背包会被多次用到，完全背包的一种优化实现方式也是使用一维数组，所以我们有必要理解这种方法。

如果只使用一维数组f[0…v]，我们要达到的效果是：第i次循环结束后f[v]中所表示的就是使用二维数组时的f[i][v]，即前i个物体面对容量v时的最大价值。我们知道f[v]是由两个状态得来的，f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]，使用一维数组时，当第i次循环之前时，f[v]实际上就是f[i-1][v]，那么怎么得到第二个子问题的值呢？事实上，如果在每次循环中我们以v=v…0的顺序推f[v]时，就能保证f[v-c[i]]存储的是f[i-1][v-c[i]]的状态。状态转移方程为：

我们可以与二维数组的状态转移方程对比一下

正如我们上面所说，f[v-c[i]]就相当于原来f[i-1][v-c[i]]的状态。如果将v的循环顺序由逆序改为顺序的话，就不是01背包了，就变成完全背包了，这个后面说。这里举一个例子理解为何顺序就不是01背包了

假设有物体z容量2，价值vz很大，背包容量为5，如果v的循环顺序不是逆序，那么外层循环跑到物体z时，内循环在v=2时，物体z被放入背包，当v=4时，寻求最大价值，物体z放入背包，f[4]=max{f[4],f[2]+vz}，这里毫无疑问后者最大，那么此时f[2]+vz中的f[2]已经装入了一次物体z，这样一来该物体被装入背包两次了就，不符合要求，如果逆序循环v，这一问题便解决了。

代码如下，为了加深理解，可以在内循环结束输出每一个状态的情况到文本中，会发现与使用二维数组时的状态转移矩阵都是一样一样的。

可以看出，使用一维数组，代码非常简练。

完全背包问题

问题描述：

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路：

这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

这跟01背包问题一样有O(N*V)个状态需要求解，但求解每个状态的时间已经不是常数了，求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i])，总的复杂度是超过O(VN)的。

将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。

一个简单有效的优化：

完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。

这个优化可以简单的O(N^2)地实现，一般都可以承受。另外，针对背包问题而言，比较不错的一种方法是：首先将费用大于V的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以O(V+N)地完成这个优化。这个不太重要的过程就不给出伪代码了，希望你能独立思考写出伪代码或程序。

转化为01背包问题求解：

既然01背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化为01背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选V/c[i]件，于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为01背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。

更高效的转化方法是：把第i种物品拆成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品，其中k满足c[i]*2^k<=V。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第i种物品，总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样把每种物品拆成O(log(V/c[i]))件物品，是一个很大的改进。

但我们有更优的O(VN)的算法。

O(VN)的算法：

这个算法使用一维数组，先看代码段：

1 for (int i = 1; i <= N; i++)

2 for (int v = 0; v <= V; v++)

3 f[v] = max(f[v], f[v - c[i]] + w[i]);

你会发现，这段代码与01背包问题
的代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么P01中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。