简单快速地理解pagerank

直观理解

一句话概括：pagerank求的是，一个人沿着网站之间的超链接浏览整个互联网，一段时间后，其停留在某个网页上的概率。这个概率就是这个网页的pagerank值。

当然，这只是基本思想，实际的pagerank值不一定非要在0-1之间。（根据实现方法不同）

以及，还有一种解释是，一个网页A包含一条指向另一个网页B的超链接，就可以理解为网页A认为网页B比较重要，相当于为网页B投了一票。而这种通过超链接的形式得到的“票数”越多，就说明这个网页越重要（pagerank值越高）。不过，这个说法容易跟其他类似的算法搞混（比如HITS算法），所以我还是比较喜欢第一种解释。

实际例子可以参考这篇博客

数学建模

数学建模部分参考了这篇博客。相当于对其重新整理，再加上自己的理解。

首先，我们需要一个超链接矩阵GG(所有元素都是0或1)，其中GijG_{ij}表示有一条从网页jj指向网页ii的超链接。（虽然这么定义貌似有些别扭，但是为了后面的式子好看，这种别扭还是值得的）

然后，我们假设一个user只能通过两种方式访问一个网页。

通过其当前所在页面的超链接跳转到另一个网页

随机地访问一个网页

我们假设用户采用第一种方式的概率是pp，采用第二种方式的概率是1−p1-p。这个pp通常取0.85（经验性的）。

之所以定义了两种方式，是因为如果只采用第一种方式，则若一个网页不指向任何其他网页，则用户到了这个页面后就无法继续访问其他网页了。这就是pagerank理论中说的黑洞，或者悬挂页面。所以我们加上一个随机访问的方式，从而使得每个页面都是可达的。

我们定义另外一个矩阵AA，AijA_{ij}表示从页面jj进入页面ii的概率。另外我们定义cjc_j代表页面jj中所有超链接的个数。

显然，AijA_{ij}由两部分组成：

从jj通过超链接跳转到ii，概率为：pGijcjp\frac{G_{ij}}{c_j}。其中GijG_{ij}取0或1。

通过随机访问进入页面ii，概率为：(1−p)1n(1-p)\frac{1}{n}。其中nn为所有网页的个数。

所以：

Aij=pGijcj+(1−p)1n\begin{equation}
A_{ij} = p\frac{G_{ij}}{c_j} + (1-p)\frac{1}{n}
\end{equation}

写成矩阵形式：

A=pGD+(1−p)1nI\begin{equation}
A = pGD + (1-p)\frac{1}{n}I
\end{equation}

其中，DD是对角矩阵，DjjD_{jj}是1cj\frac{1}{c_j}，即第jj个页面超链接数目的倒数。II是单位矩阵，即对角线元素为1的对角矩阵。

这样，我们就得到包含从页面jj进入页面ii的概率的转移矩阵A。

设rkr^k代表第k轮迭代后，每个页面的pagerank值组成的向量。且|rk|1=1|r^k|_1=1，即所有页面pagerank值之和等于1（因为pagerank值是若干步后，user停留在某个页面上的概率）。初始时，r0r^0中每个元素都是1n\frac{1}{n}。

通过下面的式子进行若干轮迭代后，即可得到最终的pagerank值：

rk+1=Ark\begin{equation}
r^{k+1} = Ar^k
\end{equation}

当然这个求解方式只是最naive的版本。更快速的版本可以参考本节开头的引文。

pagerank算法的收敛性

所谓的收敛，即经过若干轮迭代后，rk+1r^{k+1}与rkr^k相差很小。

上述迭代的过程其实是一个马尔科夫过程，即当前状态只跟其前一个状态有关的随机过程（一阶马尔科夫过程），这里的状态就是user停留在各个页面的概率。

而pagerank算法的收敛性，则来自于马尔科夫过程的收敛性。

随机过程理论表明，当一个马尔科夫过程满足下面四个条件时，其经过若干步后，会达到一个平稳分布，即各个状态的概率不再改变（pagerank中就是user在若干步后，其停留在某个页面的概率不再改变）。

这四个条件是：

可能的状态数量是有限的。

转移概率固定不变。

从任意一个状态能够变到任意其他一个状态。有可能不是从状态A直接变到状态C，而是先变到状态B再变到C，但只要有路径从状态A变成状态C就行。

过程不是简单循环。比如不能是从全A变到全B，然后又自动从全B变到全A。

显然，pagerank算法所对应的马尔科夫过程全都满足。所以，pagerank算法必然会收敛。

当然，上面的四个条件只是比较白话的版本，正式的版本是：有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布。看不懂的话随便找一本随机过程的书即可。