1657 圆的划分问题

Description

在一个无限延伸平面上有一个圆和n条直线，这些直线中每一条都在一个圆内，并且同其他所有的直线相交，假设没有3条直线相交于一点，试问这些直线最多将圆分成多少区域。

Input

第一行包含一个整数T，(0< T<=100)表示测试次数。

每组测试数据包含一个整数N（0<=N<=10000000），表示直线的条数。

Output

对于每一组测试数据，输出这个圆能被这N条直线分成的最多区域数。

Sample Input

Raw

2

1

2

Sample Output

Raw

2

4

题解：

令hn表示这n条直线将圆内分割成的区域块数。

因为第n条直线和原先的n-1条直线在圆内各有一交点，所以它被切成n条线段。而每条线段可将原来已形成的每个区域分成两块，所以有

hn=hn-1+n h0=1

由这个递推关系，有

hn-1=hn-2+n-1

将这两个关系式两端相减，得

hn-2hn-1+hn-2=1

再由这个递推关系，又有

hn-1-2hn-2+hn-3=1

将其与上式相减，得

hn-3hn-1+3hn-2-hn-3=0

利用h0=1，h1=2，h2=4，解这个齐次递推关系，得 hn=1+(n+1)*n/2

代码：

#include<cstdio>
int main()
{
long long t,n,a;
scanf("%lld",&t);
while(t--)
{
scanf("%lld",&n);
if(n==0)
{
printf("1\n");continue;
}
a=1+n*(n+1)/2;
printf("%lld\n",a);
}
return 0;
}