Softmax回归（Softmax Regression

多分类问题

在一个多分类问题中，因变量y有k个取值，即

。例如在邮件分类问题中，我们要把邮件分为垃圾邮件、个人邮件、工作邮件3类，目标值y是一个有3个取值的离散值。这是一个多分类问题，二分类模型在这里不太适用。

多分类问题符合多项分布。有许多算法可用于解决多分类问题，像决策树、朴素贝叶斯等。这篇文章主要讲解多分类算法中的Softmax回归（Softmax Regression)

推导思路为：首先证明多项分布属于指数分布族，这样就可以使用广义线性模型来拟合这个多项分布，由广义线性模型推导出的目标函数

即为Softmax回归的分类模型。

证明多项分布属于指数分布族

多分类模型的输出结果为该样本属于k个类别的概率，从这k个概率中我们选择最优的概率对应的类别（通常选概率最大的类别），作为该样本的预测类别。这k个概率用k个变量

，

…，

表示。这个k变量和为1，即满足：




可以用前k-1个变量来表示，即：



使用广义线性模型拟合这个多分类问题，首先要验证这个多项分布是否符合一个指数分布族。定义T(y)为：



在这里，统计分量T(y)并没有像之前那样定义为T(y)=y，因为T(y)不是一个数值，而是一个k-1维的向量。使用符号

表示向量T(y)的第i个元素。

在这里引入一个新符号：

，如果括号内为true则这个符号取1，反之取0，即

，

。所以，T(y)与y的关系就可以表示为



与

关系为：



即：



多项分布表达式转化为指数分布族表达式过程如下：



其中：



变换过程：

第一步：

取值为

，

…，

中的一个，取决于y的取值。当y=i时，这一步可以理解为


第二步：消去


第三步：根据


第四、五步：转换为广义线性模型的表达格式。

多项分布表达式可以表示为指数分布族表达式的格式，所以它属于指数分布族，那么就可以用广义线性模型来拟合这个多项式分布模型。

Softmax函数（Softmax Function）

在使用广义线性模型拟合这个多项式分布模型之前，需要先推导一个函数，这个函数在广义线性模型的目标函数中会用到。这个函数称为Softmax函数（Softmax Function）。

由η表达式可得：



这是

关于

的表达式，把它转化为

关于

的表达式过程为：

为了方便，令

，那么



因为：



所以：



这个

关于

的的函数称为Softmax函数（Softmax Function）。

使用广义线性构建模型

根据广义线性模型的假设3:



θ是模型中的参数，为了符号上的方便我们定义

，所以



所以模型在给定x的条件下y的分布

为：



上面的表达式求解的是在y=i时的概率。在Softmax回归这个广义线性模型中，目标函数是：



Softmax回归目标函数

的输出是k个概率，即

其中i=1,2,…,k(虽然输出的是k-1个值，但是第k个值

可以由

求出），求解了这个目标函数，我们就构造出了分类模型。

目标函数推导过程如下：



现在求解目标函数

还差最后一步：参数拟合的问题。跟我们之前的参数拟合方法类似，我们有m个训练样本，θ的似然函数为：



最大化似然函数来求解最优的参数θ，可以使用梯度上升或者牛顿方法。

求解了最优的参数θ后，就可以使用目标函数

进行分类。使用函数

进行多分类的方式就叫Softmax回归（Softmax Regression)