[POJ]1664 放苹果

[POJ]1664 放苹果

问题

Description

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

Input

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

Output

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

Sample Input

1

7 3

Sample Output

8

分析

可以采用递归的思想来解决这一题。

我们首先假设f(m,n) 为m个苹果，n个盘子的放法数目。针对n开始讨论，来求解递归方程。

n>m

必定有n-m个盘子永远空着，因为题中不考虑交换盘子顺序对排列数的影响，因此可以直接去掉它们，对摆放苹果方法数目不产生影响。

即if(n>m)

[align=center] f(m,n) = f(m,m)[/align]

n<=m

针对这种情况，可以分成两类放法：

1、至少有一个盘子空着，即相当于f(m,n) = f(m,n-1);

2、所有盘子都有苹果，相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即f(m,n) = f(m-n,n).

这种情况下，总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n)

因此，递归方程为

f(m,n)={f(m,m),f(m,n−1)+f(m−n,n),n > mn ≤ m f(m,n) = \begin{cases}f(m,m), &\text{n > m} \\
f(m,n-1)+f(m-n,n),&\text{n $\le$ m }
\end{cases}

递归终止条件：

- 当n=1时，所有苹果都必须放在一个盘子里，所以返回１；

- 当没有苹果可放时，定义为１种放法；

递归的两条路，第一条n会逐渐减少，终会到达出口n==1;

第二条m会逐渐减少，因为n>m时，我们会return f(m,m)　所以终会到达出口m==0．

源代码

#include <iostream>
using namespace std;

int cal_apple(int m, int n) {
if (m == 0 || n == 1)
return 1;
if (n > m)
return cal_apple(m, m);
else
return cal_apple(m, n - 1) + cal_apple(m - n, n);
}

int main() {
int t, M, N;
cin >> t;
for (int i = 0; i < t; ++i) {
cin >> M >> N;
cout << cal_apple(M, N) << endl;
}
return 0;
}

程序结果

Result	Memory	Time	Language	Code Length
Accepted	236K	0MS	C++	342B