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hdoj 5570 balls 【概率dp 求期望】

2015-11-28 11:45 344 查看

balls

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Total Submission(s): 155    Accepted Submission(s): 104


Problem Description

There are n balls
with m colors.
The possibility of that the color of the i-th
ball is color j is ai,jai,1+ai,2+...+ai,m.
If the number of balls with the j-th
is x,
then you should pay x2 as
the cost. Please calculate the expectation of the cost.
 

Input

Several test cases(about 5)

For each cases, first come 2 integers, n,m(1≤n≤1000,1≤m≤1000)

Then follows n lines
with m numbers ai,j(1≤ai≤100)

 

Output

For each cases, please output the answer with two decimal places.
 

Sample Input

2 2
1 1
3 5

2 2
4 5
4 2

2 2
2 4
1 4

 

Sample Output

3.00
2.96
3.20

 

题意：给定n个球共m种颜色，给出一个n*m的矩阵a[][]，其中a[i][j]表示第i个球为颜色j的概率。若颜色为j的球的个数为x，则要花费x^2。现在问花费的期望。

数组下标是从0开始的。

思路：设置状态X[i][j]，若第i个球颜色为j则X[i][j] = 1，反之x[i][j] = 0。用C[j]表示颜色为j的球的个数。

则有C[j] = x[0][j] + x[1][j] + x[2][j] + ... + x[n-1][j]。

E(cost) = (0<=j<m)sigma(E(C[j]^2)) = (0<=j<m)sigma(E(x[0][j] + x[1][j] + ... + x[n-1][j])^2)。

注公式(一)：2ab+2bc+2ac + a+b+c = (a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2) + (a+b+c) -> n个变量同样适用。

由公式一得到(x[0][j]+...+x[n-1][j])^2表达式

E(cost) = (0<=j<m)sigma(E((x[0][j]^2+...+x[n-1][j]^2) + (2*x[b][j]*x[c][j])), 0<=b, c<n&&b!=c)。

由于期望的线性性质我们把上面的式子拆开：

E(cost) = (0<=j<m)sigma(E(x[k][j]^2), 0<=k<n) + sigma(E(2*x[b][j]*x[c][j]), 0<=b, c<n&&b!=c)。

通过计算可以得到   注：p[i][j]表示第i个球为颜色j的概率。

一、任意(0<=k<n)E(x[k][j]^2) = p[k][j]。

二、任意(0<=b, c<n&&b!=c)E(x[b][j]*x[c][j]) = p[b][j] * p[c][j]。

最终表达式E(cost) = (0<=j<m)sigma(p[k][j], 0<=k<n) + sigma(p[b][j]*p[c][j], 0<=b, c<n&&b!=c)。

注意：p[b][j]*p[c][j]，p[c][j]*p[b][j] 都是存在的。

这样

E(cost) = (0<=j<m)sigma(p[k][j], 0<=k<n) + sigma(2*p[b][j]*p[c][j], 0 <= b < c < n)。

由公式一化简得到

E(cost) = (0<=j<m)[sigma(p[k][j])^2 - sigma(p[k][j]^2) + sigma(p[k][j]), 0<=k<n]。

这样时间复杂度O(nm)。

AC代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>
#define INF 0x3f3f3f
#define eps 1e-8
#define MAXN (1000+10)
#define MAXM (100000)
#define Ri(a) scanf("%d", &a)
#define Rl(a) scanf("%lld", &a)
#define Rf(a) scanf("%lf", &a)
#define Rs(a) scanf("%s", a)
#define Pi(a) printf("%d\n", (a))
#define Pf(a) printf("%.2lf\n", (a))
#define Pl(a) printf("%lld\n", (a))
#define Ps(a) printf("%s\n", (a))
#define W(a) while(a--)
#define CLR(a, b) memset(a, (b), sizeof(a))
#define MOD 1000000007
#define LL long long
#define lson o<<1, l, mid
#define rson o<<1|1, mid+1, r
#define ll o<<1
#define rr o<<1|1
using namespace std;
double a[MAXN][MAXN];
double p[MAXN][MAXN];
int main()
{
int n, m;
while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
double sum = 0;
for(int j = 0; j < m; j++)
{
Rf(a[i][j]);
sum += a[i][j];
}
for(int j = 0; j < m; j++)
p[i][j] = a[i][j] / sum;
}
double ans = 0;
for(int j = 0; j < m; j++)
{
double Sq = 0, S = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
Sq += p[i][j] * p[i][j];
S += p[i][j];
}
ans += S * S - Sq + S;
}
Pf(ans);
}
return 0;
}

                                            

                                        

                        
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