递归与分治之棋盘覆盖问题
2015-11-26 13:00
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在一个2^k * 2^k个方格组成的棋盘中,若有一个方格与其他方格不同,则称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一个特殊棋盘。
显然特殊方格在棋盘上出现的位置有4^k种情形.因而对任何k≥0,有4^k种不同的特殊棋盘。
下图所示的特殊棋盘为 k=2 时 16 个特殊棋盘中的一个。
在棋盘覆盖问题中,要用下图中 4 中不同形态的 L 型骨牌覆盖一个给定的特殊棋牌上除特殊方格以外的所有方格,且任何 2 个 L 型骨牌不得重叠覆盖。
易知,在任何一个 2^k * 2^k 的棋盘中,用到的 L 型骨牌个数恰为 (4^k-1)/3 。
求解棋盘问题,可利用分治的策略。当 k>0 时,将 2^k * 2^k 棋盘分割为 4 个 2^(k-1) * 2^(k-1) 子棋盘,如下图所示。
特殊方格必位于 4 个子棋盘之一,其余 3 个子棋盘中无特殊方格。用一个 L 型骨牌覆盖这 3 个较小的棋盘的汇合处,如图所示,将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘,从而将原问题化为 4 个较小规模的棋盘覆盖问题。递归的使用 这种分割,直至棋盘简化为 1x1 棋盘。
python实现代码如下:
显然特殊方格在棋盘上出现的位置有4^k种情形.因而对任何k≥0,有4^k种不同的特殊棋盘。
下图所示的特殊棋盘为 k=2 时 16 个特殊棋盘中的一个。
在棋盘覆盖问题中,要用下图中 4 中不同形态的 L 型骨牌覆盖一个给定的特殊棋牌上除特殊方格以外的所有方格,且任何 2 个 L 型骨牌不得重叠覆盖。
易知,在任何一个 2^k * 2^k 的棋盘中,用到的 L 型骨牌个数恰为 (4^k-1)/3 。
求解棋盘问题,可利用分治的策略。当 k>0 时,将 2^k * 2^k 棋盘分割为 4 个 2^(k-1) * 2^(k-1) 子棋盘,如下图所示。
特殊方格必位于 4 个子棋盘之一,其余 3 个子棋盘中无特殊方格。用一个 L 型骨牌覆盖这 3 个较小的棋盘的汇合处,如图所示,将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘,从而将原问题化为 4 个较小规模的棋盘覆盖问题。递归的使用 这种分割,直至棋盘简化为 1x1 棋盘。
python实现代码如下:
# coding =gbk # tr左上角行号,tc左上角列号。dr特殊方格行号,dc特殊方格列号 def chessboard(board, size, tr, tc, dr, dc): if size <= 1: return global tile tile += 1 current_tile = tile size //= 2 if dr < tr + size and dc < tc + size: chessboard(board, size, tr, tc, dr, dc) else: board[tr + size - 1][tc + size - 1] = current_tile chessboard(board, size, tr, tc, tr + size - 1, tc + size - 1) if dr >= tr + size and dc < tc + size: chessboard(board, size, tr + size, tc, dr, dc) else: board[tr + size][tc + size - 1] = current_tile chessboard(board, size, tr + size, tc, tr + size, tc + size - 1) if dr < tr + size and dc >= tc + size: chessboard(board, size, tr, tc + size, dr, dc) else: board[tr + size - 1][tc + size] = current_tile chessboard(board, size, tr, tc + size, tr + size - 1, tc + size) if dr >= tr + size and dc >= tc + size: chessboard(board, size, tr + size, tc + size, dr, dc) else: board[tr + size][tc + size] = current_tile chessboard(board, size, tr + size, tc + size, tr + size, tc + size) tile = 0 chessboard_size = 4 board = [[0 for x in range(chessboard_size)] for y in range(chessboard_size)] chessboard(board, chessboard_size, 0, 0, 1, 0) board = [[row[i] for row in board] for i in range(len(board[0]))] for lst in board: print(lst)
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