排列宝石问题回溯算法

问题描述：

现有n种不同形状的宝石，每种n颗，共n*n颗。同一形状的n颗宝石分别具有n种不同的颜色c1,c2,…,cn中的一种颜色。欲将这n*n颗宝石排列成n行n列的一个方阵，使方阵中每一行和每一列的宝石都有n种不同的形状和n种不同颜色。是设计一个算法，计算出对于给定的n，有多少种不同的宝石排列方案。

问题解决：

用回溯算法解决问题的一般步骤为：

step 1、定义一个解空间，它包含问题的解。

step 2、利用适于搜索的方法组织解空间。

step 3、利用深度优先法搜索解空间。

step 4、利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。

用回溯法解排列宝石问题，用完全n叉树表示解空间，可行性约束place减去不满足要求约束的子树。

<1>、算法思路：

利用回溯算法backtrack，当行号（列号）大于n时，算法搜索至叶节点，当前找到可行性方案，sum+1；否者当前扩展节点是解空间中的内部节点，找出未排列的宝石，用place检验当前宝石是否可以放置，并以深度优先的方式递归的对可行子树搜索。

<2>、算法程序：

#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;

class Diamond
{
public:
int color;//颜色编号
int shape;//形状编号
int use;//是否已经排列，默认1为未排列
};

//初始化n*n个宝石
void init(Diamond *a,int n)
{
//分别为n种颜色各具n种形状的宝石赋初值
for(int i=1;i<=n*n;i++)
{
a[i].color=(i-1)/n+1;
a[i].shape=(i-1)%n+1;
a[i].use=1;
}
}

//检验宝石是否可放
bool place(Diamond *a,int **s,int x,int y)
{
for(int i=1;i<y;i++)//判断行中是否有颜色形状重复
{
if(a[s[x][i]].color==a[s[x][y]].color || a[s[x][i]].shape==a[s[x][y]].shape)
return 0;
}
for(int j=1;j<x;j++)//判断列中是否有颜色形状重复
{
if(a[s[j][y]].color==a[s[x][y]].color || a[s[j][y]].shape==a[s[x][y]].shape)
return 0;
}
return 1;
}

//用回溯法递归搜索
void backtrack(Diamond *a,int **s,int t,int n,int &sum)
{
int x,y;
x=(t-1)/n+1;//存放的行号
y=(t-1)%n+1;//存放的列号
if(x>n)sum++;
else
for(int i=1;i<=n*n;i++)
{
if(a[i].use)//当前宝石未排列
{
s[x][y]=i;
if(place(a,s,x,y))//当前宝石颜色形状不重复
{
a[i].use=0;
backtrack(a,s,t+1,n,sum);
a[i].use=1;
}
}
}
}

//计算当前宝石排列的方案数
int numDiamond(int n)
{
Diamond *a=new Diamond[n*n+1];
init(a,n);
int sum=0;
int **s=new int*[n+1];
for(int m=1;m<=n;m++)
s[m]=new int[n+1];

backtrack(a,s,1,n,sum);
return sum;
}

int main()
{
//读出输入文件中的数据
fstream fin;
fin.open("input.txt",ios::in);
if(fin.fail())
{
cout<<"File does not exist!"<<endl;
cout<<"Exit program"<<endl;
return 0;
}

int n;
fin>>n;

//调用函数
int number=numDiamond(n);
cout<<"宝石排列的方案数为："<<number<<"种"<<endl;

//将结果数据写入到输出文件
fstream fout;
fout.open("output.txt",ios::out);
fout<<number;

fin.close();
fout.close();
system("pause");
return 0;
}