层次分析法入门笔记

在看到2012美赛数模的O奖论文< A CLose Look at Leaves>的模型一中的分析时,初次接触层次分析法，看上去是一个多指标的层次权重分析方法，经过学习，整理成为本文。我将以该论文中的模型作为例子。

模型中的问题

模型1用于处理树叶分类问题。我们主要关注树叶最明显的特征，也就是树叶的形状。我们建立7种几何参数来量化树叶的形状，并且我们选择了6种常见类型的叶子来构建数据库。通过计算这些典型树叶样本的偏差系数，我们就可以对树叶进行分类。我们会以枫叶为例子说明这个树叶分类过程。

为了对树叶形状进行分类，作者构建了七个参数（矩形、长宽比、圆形、构成因数<构成>、边缘规律性面积指数<面积>、边缘规律性周长指数<周长>、比例指数1-4<比例>）和一个数据库进行分类。（尖括号的内容是简称）

什么是层次分析法？

所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。

百科上的定义，层次分析法将问题分解为三层，最上层是目标层，最下层是方案层，中间层则是指标层，也就是我们面对的多重因素。下面将分步说明层次分析法的过程。

建立层次结构模型

简单说，就是按照层次分析法的定义，将问题分解成三个层次。



构造两两比较的判断矩阵（正互反矩阵）

这里有7个因素（矩形，长宽比，圆形，构成，面积，周长，比例），通过两两因素之间进行比较，用aij来表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果，





于是根据论文作者得出的互反矩阵：



层次单排序

对行进行标准化操作

标准化操作也就是以1为总值根据比例得到各个数据。原矩阵在上，标准化后的矩阵在下：



对每行求和

得到矩阵BW=（0.1863，0.6167，0.1863，0.8250，0.3542，0.3542，1.4000）T

对上面的向量进行标准化操作

得到矩阵W=（0.0475，0.1572，0.0475，0.2103，0.0903，0.0903，0.3569）T

得到的这个向量就是我们的权值向量，对这个向量中的元素进行排序即可得到要求模型中参数重要程度排序。

一致性检验

求最大特征根


求得最大特征根为7.05，然后我们计算一致性指标

CI=0.009，最后是一致性比例CR=CI/RI = 0.009/1.32 = 0.006<0.01，当CR<0.01可以接受一致性和权重的合理性，其中，RI为平均随机一致性取值如图：