叉积

多维度的叉积涉及到的知识似乎没学过，而且似乎也暂时没有用，所以可以先只管二维与三维的情形。以下是知乎的相关问题的链接，下面有一些人的回答：

N维向量的叉积是如何被定义的

维基百科：向量积

两个向量

和

的叉积写作

×

（有时也被写成

∧

，避免和字母x混淆）。叉积可以定义为：



在这里θ表示

和

之间的角度（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而

是一个与

、

所构成的平面垂直的单位矢量。

这个定义有个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于

和

：若

满足垂直的条件，那么-

也满足。

“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系(

, 

, 

)的左右手定则。若
(

, 

, 

)满足右手定则，则
(

, 

, 

×

)也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，

当右手的四指从

以不超过180度的转角转向

时，竖起的大拇指指向是

的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

几何意义[编辑]

叉积的模（长度） 

 可以解释成以

和

为边的平行四边形的面积。进一步就是说，混合积可以得到以

，

，

为边的平行六面体的体积。

代数性质[编辑]

反交换律：


加法的分配律：


 ×
(

 + 

)
= 

 × 

 + 

 × 

与标量乘法兼容：
(r

)
× 

 = 

 ×
(r

) = r(

 × 

)不满足结合律，但满足雅可比(Jacobi)恒等式：


 ×
(

 × 

)
+ 

 × (

 × 

)
+ 

 × (

 × 

)
= 0
分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。
两个非零向量

和

平行，当且仅当

 × 

 = 0

拉格朗日公式[编辑]

这是一个著名的公式，而且非常有用：


 ×
(

 × 

)
= 

（

·

）- 

（

·

）,
另一个有用的拉格朗日恒等式是：


。

这是一个在四元数代数中范数乘法

的特殊情形

矩阵形式[编辑]

给定直角坐标系的单位向量

，

，

满足下列等式：


、

、


通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设





则



叉积也可以用四元数来表示。注意到上述

，

，

之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[a1, a2, a3]表示成四元数a1i + a2j + a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

计算公式的话：

三维：


二维：   二维的情形其实可以看作是三维的z=0的情形。所以公式就是上面的第三个部分 k的系数‘’

 V1(x1, y1) X V2(x2, y2) = x1y2 – y1x2

点乘可以判断夹角的大小，锐直钝

利用叉乘可以计算平行四边形面积、三角形面积，从而计算多边形面积。还能根据正负计算左右位置关系。

这个网页里的可以帮助理解叉积：

高维空间的叉积及其几何意义