归并排序与快速排序

分治法

分治法的思想：将原问题分解为几个规模较小但类似原问题的子问题，递归的求解这些子问题，然后合并这些子问题的解来建立原问题的解。及分而治之

分治模式在每层递归时都有三个步骤：

分解原问题为若干子问题，这些子问题是原问题规模较小的实例

解决这些子问题，递归地求解各子问题。然而，若子问题的规模足够小，则直接求解。

合并这些子问题的解成原问题的解。

归并排序

归并排序算法完全遵循分治模式。只管上其操作如下：

分解：分解待排序的nn个元素的序列成各具有n/2n/2个元素的两个子序列。

解决：使用归并排序递归地排序两个子序列

合并：合并两个已经排好序的子序列以产生已排序的答案。

归并排序其排序过程如下图所示：



因此，归并排序算法的核心思想在于合并而不是分解。

归并操作，将两个排好序的数组归并和一个排好序的数组

/**
* 将两个排好序的数组arr[p, q-1] 和 arr[q, r]归并成一个排好序的数组arr[p, r]
* @param arr 数组
* @param p 左边数组的起始位置
* @param q 左边数组的结束位置但不包含
* @param r 右边数组的结束位置
*/
private static  void merge(Comparable [] arr, int p, int q, int r) {
int leftN = q - p;  //左边数组元素个个数
int rightN = r - q + 1;     //右边数组元素的个数

// 临时开辟两个数组
Comparable [] left = new Comparable[leftN];
Comparable [] right = new Comparable[rightN];

System.arraycopy(arr, p, left, 0, leftN);
System.arraycopy(arr, q, right, 0, rightN);

int i = 0, j = 0, k = p;
while (i < leftN && j < rightN) {
if (left[i].compareTo(right[j]) < 0)
arr[k++] = left[i++];
else
arr[k++] = right[j++];
}

while (i < leftN)
arr[k++] = left[i++];
while (j < rightN)
arr[k++] = right[j++];
}

因此归并排序算法的递归实现为：

/**
*将数组arr[fromIndex, endIndex]进行排序
* @param arr 要排序的数组
* @param fromIndex 数组的起始位置
* @param endIndex  数组的结束位置
*/
public static void mergeSort(Comparable [] arr, int fromIndex, int endIndex) {
if (fromIndex < endIndex) {
int mid = fromIndex + (endIndex - fromIndex) / 2;
mergeSort(arr, fromIndex, mid);
mergeSort(arr, mid + 1, endIndex);
merge(arr, fromIndex, mid+1, endIndex);
}
}

对序列{5,2,4,7,1,3,2,6}递归求解过程如下图所示



归并排序还可使用非递归实现，其过程刚好与递归实现相反。对于任意一个序列刚开始时有序序列的长度为1，（及左右排好序的数组的长度为1）。进行归并之后有序学列长度为2，一直讲这个过程重复下去直到有序序列大于等于数组的长度。其源码实现见github。

快速排序算法

快速排序算法也是用分治的思想。但是快速排序与归并排序不一样的是，快速排序可以进行原址排序，不需要额外的申请空间。

快速排序的思想就是，选定一个主元(pivot element)，将数组中比主元小的元素放在主元的左边，比主元大的元素放在主元的右边。

对于一个典型子数组A[p...r]A[p ... r]进行快速排序的散步分治过程：

分解：数组A[p..r]A[p..r]被划分为两个(可能为空)子数组A[p..q−1]A[p..q-1] 和 A[q+1..r]A[q+1 .. r]，使得A[p..q−1]A[p..q-1]中的每一个元素都小于A[q]A[q]。而数组A[q+1..r]A[q+1..r]中的元素都大于A[q]A[q]。

解决：通过递归调用快速排序，对子数组子数组A[p..q−1]A[p..q-1] 和 A[q+1..r]A[q+1 .. r]

合并：因为子数组都是原址排序的，因此不需要合并操作

Talk is cheap,show me the code!

/**
* 使用快速排序算法对数组arr进行排序
* @param arr 要排序的数组
* @param fromIndex 要排序的起始位置
* @param endIndex  要排序的结束位置
*/
public static void quickSort(Comparable [] arr, int fromIndex, int endIndex) {
if (endIndex <= fromIndex)
return;

//adjustPivot(arr, fromIndex, endIndex);
int pivot = endIndex; //选择数组中最后一个元素作为主元
int left = fromIndex-1, right = endIndex+1;
while (true) {
// 找到左边比主元大的元素
while (arr[++left].compareTo(arr[pivot]) < 0) ;
// 找到右边比主元小的元素
while (arr[--right].compareTo(arr[pivot]) > 0) ;

if (left < right)
swap(arr, left, right); //交换arr[left]与arr[right]的值
else
break;
}
//将主元放入正确的位置
swap(arr, left, pivot);
//递归排序左右两边子数组
quickSort(arr, fromIndex, left-1);
quickSort(arr, left+1, endIndex);
}

快速排序对于数组集比较大时，其效率是非常高的。但是当数据集比较小时，由于存在递归调用栈的开销其效率并不见得要比shell排序好。因此，可以将快速排序算法进行调整，当元素比较小时使用插入排序，当元素比较多时使用快速排序。

快速排序对主元不同的选择，其效率不一样，一种效率比较高并且常用的主元选择法为选择A[beg] , A[mid], A[end]三个元素的中位数。(mid = (beg+end)/2)

代码为

public static void sort(Comparable [] arr, int p, int r) {

if (endIndex - fromIndex >= CUTOFF) { //设置一个门限值
//调整主元
adjustPivot(arr, p, r);
Comparable pivot = arr[r];
int i = p-1, j = p;
for (; j <= r-1; ++j) {
if (arr[j].compareTo(pivot) < 0) {
i++;
swap(arr, i, j);
}
}
swap(arr, i+1, j);

sort(arr, p, i);
sort(arr, i + 2, r);
} else {
shellSort(arr, p, r);
}
}

上面代码与quicksort代码有点区别但是原理都是一样的。

附上一个主元调整的“栗子”。





附上完整代码：https://github.com/liangpj/AlgorithmsJava.git