两种常用的全参考图像质量评价指标--PSNR和SSIM

1.PSNR（Peak Signal to Noise Ratio）峰值信噪比：

MSE表示当前图像X和参考图像Y的均方误差（Mean Square Error），H、W分别为图像的高度和宽度；

MSE=1H×W∑i=1H∑j=1W(X(i,j)−Y(i,j))2MSE=\frac{1}{H \times W} \sum_{i=1}^{H}\sum_{j=1}^{W} (X(i,j)-Y(i,j))^2 PSNR的单位是dB，数值越大表示失真越小。n为每像素的比特数，一般的灰度图像取8，即像素灰阶数为256.

PSNR=10log10((2n−1)2MSE)PSNR=10log_{10}(\frac{(2^n-1)^2}{MSE})PSNR是最普遍和使用最为广泛的一种图像客观评价指标，然而它是基于对应像素点间的误差，即基于误差敏感的图像质量评价。由于并未考虑到人眼的视觉特性（人眼对空间频率较低的对比差异敏感度较高，人眼对亮度对比差异的敏感度较色度高，人眼对一个区域的感知结果会受到其周围邻近区域的影响等），因而经常出现评价结果与人的主观感觉不一致的情况。

Matlab的函数代码实现如下：

function [ out ] = psnr( X,Y )
[ m,n ] = size( X );
mse = sum(( double(X(:)) - double(Y(:)) ).^2);
mse = mse/(m*n);
out = 10*log10((255*255)/mse);
end

2.SSIM（Structural Similarity）结构相似性：

SSIM（Structural Similarity）结构相似性

μX\mu_X、μY\mu_Y分别表示图像X和Y的均值，σX\sigma_X、σY\sigma_Y分别表示图像X和Y的方差，σXY\sigma_{XY}表示图像X和Y的协方差，即

μX=1H×W∑i=1H∑j=1WX(i,j)\mu_X=\frac{1}{H \times W} \sum_{i=1}^{H}\sum_{j=1}^{W} X(i,j)

σX=(1H×W−1∑i=1H∑j=1W(X(i,j)−μX)2)12\sigma_X=(\frac{1}{H \times W-1} \sum_{i=1}^{H} \sum_{j=1}^{W} (X(i,j)-\mu_X)^2)^{\frac{1}{2}}

σXY=1H×W−1∑i=1H∑j=1W(X(i,j)−μX)(Y(i,j)−μY)\sigma_{XY}=\frac{1}{H \times W-1} \sum_{i=1}^{H}\sum_{j=1}^{W} (X(i,j)-\mu_X)(Y(i,j)-\mu _Y)

SSIM分别从亮度、对比度、结构三方面度量图像相似性。

l(X,Y)=2μXμY+C1μ2X+μ2Y+C1l(X,Y)=\frac{2\mu_X\mu_Y+C_1}{\mu_X^2+\mu_Y^2+C_1}

c(X,Y)=2σXσY+C2σ2X+σ2Y+C2c(X,Y)=\frac{2\sigma_X\sigma_Y+C_2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2+C_2}

s(X,Y)=σXY+C3σXσY+C3s(X,Y)=\frac{\sigma_{XY}+C_3}{\sigma_X\sigma_Y+C_3}

C1C_1、C2C_2、C3C_3为常数，为了避免分母为0的情况，通常取C1=(K1∗L)2C1=(K1*L)^2, C2=(K2∗L)2C2=(K2*L)^2, C3=C22C3=\frac{C_2}{2}, 一般地K1=0.01, K2=0.03, L=255. 则

SSIM(X,Y)=l(X,Y)∗c(X,Y)∗s(X,Y)SSIM(X,Y)=l(X,Y)*c(X,Y)*s(X,Y)SSIM取值范围[0,1]，值越大，表示图像失真越小.

SSIM的特殊形式如下：

SSIM(X,Y)=(2μXμY+C1)(2σXY+C2)(μ2X+μ2Y+C1)(σ2X+σ2Y+C2) SSIM(X,Y)=\frac{(2\mu_X\mu_Y+C_1)(2\sigma_{XY}+C_2)}{(\mu_X^2+\mu_Y^2+C_1)(\sigma_X^2+\sigma_Y^2+C_2)}

MSSIM（Mean Structural Similarity ）平均结构相似性

在实际应用中，可以利用滑动窗将图像分块，令分块总数为N，考虑到窗口形状对分块的影响，采用加权计算每一窗口的均值、方差以及协方差，权值wijw_{ij}满足∑i∑jwij=1\sum_i\sum_jw_{ij}=1,通常采用高斯核，然后计算对应块的结构相似度SSIM，最后将平均值作为两图像的结构相似性度量，即平均结构相似性MSSIM：

μX=∑i=1H∑j=1WwijX(i,j)\mu_X=\sum_{i=1}^{H}\sum_{j=1}^{W}
w_{ij}X(i,j)

σX=(∑i=1H∑j=1Wwij(X(i,j)−μX))12\sigma_X=(\sum_{i=1}^{H}\sum_{j=1}^{W}
w_{ij}(X(i,j)-\mu_X))^{\frac{1}{2}}

σXY=∑i=1H∑j=1Wwij(X(i,j)−μX)(Y(i,j)−μY)\sigma_{XY}=\sum_{i=1}^{H}\sum_{j=1}^{W}
w_{ij}(X(i,j)-\mu_X)(Y(i,j)-\mu_Y)

MSSIM=1N∑k=1NSSIM(xk,yk)MSSIM=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}SSIM(x_k,y_k)

Matlab的函数实现代码如下：

function [mssim, ssim_map] = ssim_index(img1, img2, K, window, L)
C1 = (K(1)*L)^2;
C2 = (K(2)*L)^2;
window = window/sum(sum(window));
img1 = double(img1);
img2 = double(img2);

mu1   = filter2(window, img1, 'valid');
mu2   = filter2(window, img2, 'valid');
mu1_sq = mu1.*mu1;
mu2_sq = mu2.*mu2;
mu1_mu2 = mu1.*mu2;
sigma1_sq = filter2(window, img1.*img1, 'valid') - mu1_sq;
sigma2_sq = filter2(window, img2.*img2, 'valid') - mu2_sq;
sigma12 = filter2(window, img1.*img2, 'valid') - mu1_mu2;

if (C1 > 0 & C2 > 0)
ssim_map = ((2*mu1_mu2 + C1).*(2*sigma12 + C2))./((mu1_sq + mu2_sq + C1).*(sigma1_sq + sigma2_sq + C2));
else
numerator1 = 2*mu1_mu2 + C1;
numerator2 = 2*sigma12 + C2;
denominator1 = mu1_sq + mu2_sq + C1;
denominator2 = sigma1_sq + sigma2_sq + C2;
ssim_map = ones(size(mu1));
index = (denominator1.*denominator2 > 0);
ssim_map(index) = (numerator1(index).*numerator2(index))./(denominator1(index).*denominator2(index));
index = (denominator1 ~= 0) & (denominator2 == 0);
ssim_map(index) = numerator1(index)./denominator1(index);
end

mssim = mean2(ssim_map);

return