伪逆矩阵

伪逆矩阵的定义

定义：令A是任意mXn矩阵，称矩阵G是A的广义逆矩阵，若G满足下述条件（Moore-penrose条件）：
（1）GAG = G； 
（2）AGA = A；
（3）AG为hermitian矩阵，即（AG）^H=AG；
（4）GA为hermitian矩阵，即（GA）^H=GA；

伪逆矩阵的求法

① 直接求解：

求导，令导数为0，结果如下: InvA=(ATA)-1AT

% 直接求伪逆

InvA = inv(A'*A)*A';

② SVD求解

%% SVD分解求伪逆

% 原理和公式：1. SVD分解得到的矩阵:U和V是正交阵，S是对角阵

%            2. 正交阵的逆=转置

%            3. 对角阵的逆=非零元素求倒

% Step1: 求解A的SVD分解

[U,S,V] = svd(A); % A = U*S*V'

% Step2: 将S中的非零元素求倒

T=S;

T(find(S~=0)) = 1./S(find(S~=0));

% Step3: 求invA

svdInvA = V * T' * U';

③ QR求解

%% QR分解求伪逆

% 适用于稀疏矩阵

% 原理和公式：1. QR分解得到的矩阵:Q是正交阵，R是非奇异上三角阵

%            2. 正交阵的逆=转置

%            3. 上（下）三角矩阵的逆也仍然是上（下）三角矩阵。不必用高斯消去法，向前替换法解方程。

%               但是具体的我不知道怎么用程序来写，这里仍旧用了matlab的函数。

[Q,R] = qr(A);

InvR =  inv(R'*R)*R';

qrInvA =InvR*Q';

伪逆矩阵的应用

(1)信号的检测干扰消除

 a=floor(10*rand(4,3))

a =

     7     4     2

     7     6     6

     1     7     6

     4     7     1

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b=inv(a'*a)*a'

b =

    0.1018    0.0650   -0.0959   -0.0180

   -0.0263   -0.0767    0.0578    0.1658

   -0.0296    0.1149    0.0903   -0.1719

-------------------------------------------------------------------------

b*a

ans =

    1.0000   -0.0000    0.0000

   -0.0000    1.0000   -0.0000

   -0.0000   -0.0000    1.0000

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看到没Moore-Penrose伪逆满足(a)^+*a=xij当i=j时xij=1；否则为0。