凸优化--强弱对偶性的几何解释
2015-11-17 09:01
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凸优化–强弱对偶性的几何解释
一般的优化问题模型
minf0(x)s.t.fi≤0,i=1,⋯,mhi=0,i=1,⋯,p
定义约束函数和目标函数所取值的集合G
G={(f1(x),⋯,fm(x),h1(x),⋯,hp(x),f0(x))∈Rm×Rp×R∣x∈D}
利用G的表达原始优化问题
p⋆=inf{t∣(u,v,t)∈G,u≤0,v=0}.
原问题的对偶函数
g(λ,ν)=inf{(λ,ν,1)T(u,v,t)∣(u,v,t)∈G}.
其中,(λ,ν,1)T(u,v,t)=∑mi=1λiui+∑pi=1νivi+t
如果下确界有限,则不等式
(λ,ν,1)T(u,v,t)≥g(λ,ν)
是集合G的一个支撑超平面。假设λ≥0。如果u≤0,v=0, 则
t≥(λ,ν,1)T(u,v,t)=∑mi=1λiui+∑pi=1νivi+t
因此,p⋆=inf{t∣(u,v,t)∈G,u≤0,v=0}≥inf{(λ,ν,1)T(u,v,t)∣(u,v,t)∈G,u≤0,v=0}≥inf{(λ,ν,1)T(u,v,t)∣(u,v,t)∈G}=g(λ,ν)
即弱对偶性成立。
举例:针对只有一个不等式约束的优化问题,
g(λ)=inf{λu+t∣(u,t)∈G}
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