实例学习Bloom Filter（转）

实例学习Bloom Filter

0. 科普
1. 为什么需要Bloom Filter
2. 基本原理
3. 如何设计Bloom Filter
4. 实例操作
5. 扩展

0. 科普

Bloom Filter是由Bloom在1970年提出的一种多哈希函数映射的快速查找算法。通常应用在一些需要快速判断某个元素是否属于集合，但是并不严格要求100%正确的场合。

1. 为什么需要Bloom Filter

举例说明：假设有2000万个url，现在判断一个新的url是否在这2000万个之中。可以有的思路：

将访问过的URL保存到数据库。

用HashSet将访问过的URL保存起来。那只需接近O(1)的代价就可以查到一个URL是否被访问过了。

URL经过MD5等单向哈希后再保存到HashSet或数据库。

Bit-Map方法。建立一个BitSet，将每个URL经过一个哈希函数映射到某一位。

分析

思路1：当数据量很大时，查询数据库变得效率底下

思路2：太消耗内存，还得把字符串全部储存起来

思路3：字符串经过MD5处理后有128个bit,比思路2省了很多空间

思路4：一个字符串仅用一位来表示，比思路3还节省空间

当然前提是会出现误判（哈希后表示相同），为了继承这么好的思路，同时减少误判的情况，可以来个折衷：一个哈希函数生成一个位，用多个哈希函数生成多个位来存储一个字符串。这样比Bit-Map多用了些空间，但是减少了误判率。

2. 基本原理

#include "hash.h"
unsigned int RSHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int b = 378551;
unsigned int a = 63689;
unsigned int hash = 0;
unsigned int i = 0;

for(i=0; i<len; str++, i++)
{
hash = hash*a + (*str);
a = a*b;
}

return hash;
}
/* End Of RS Hash Function */

unsigned int JSHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int hash = 1315423911;
unsigned int i    = 0;

for(i=0; i<len; str++, i++)
{
hash ^= ((hash<<5) + (*str) + (hash>>2));
}

return hash;
}
/* End Of JS Hash Function */

unsigned int PJWHash(const char* str, unsigned int len)
{
const unsigned int BitsInUnsignedInt = (unsigned int)(sizeof(unsigned int) * 8);
const unsigned int ThreeQuarters = (unsigned int)((BitsInUnsignedInt  * 3) / 4);
const unsigned int OneEighth = (unsigned int)(BitsInUnsignedInt / 8);
const unsigned int HighBits = (unsigned int)(0xFFFFFFFF) << (BitsInUnsignedInt - OneEighth);
unsigned int hash = 0;
unsigned int test = 0;
unsigned int i = 0;

for(i=0;i<len; str++, i++)
{
hash = (hash<<OneEighth) + (*str);

if((test = hash & HighBits)  != 0)
{
hash = ((hash ^(test >> ThreeQuarters)) & (~HighBits));
}
}

return hash;
}
/* End Of  P. J. Weinberger Hash Function */

unsigned int ELFHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int hash = 0;
unsigned int x    = 0;
unsigned int i    = 0;

for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash = (hash << 4) + (*str);
if((x = hash & 0xF0000000L) != 0)
{
hash ^= (x >> 24);
}
hash &= ~x;
}

return hash;
}
/* End Of ELF Hash Function */

unsigned int BKDRHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int seed = 131; /* 31 131 1313 13131 131313 etc.. */
unsigned int hash = 0;
unsigned int i    = 0;

for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash = (hash * seed) + (*str);
}

return hash;
}
/* End Of BKDR Hash Function */

unsigned int SDBMHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int hash = 0;
unsigned int i    = 0;

for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash = (*str) + (hash << 6) + (hash << 16) - hash;
}

return hash;
}
/* End Of SDBM Hash Function */

unsigned int DJBHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int hash = 5381;
unsigned int i    = 0;

for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash = ((hash << 5) + hash) + (*str);
}

return hash;
}
/* End Of DJB Hash Function */

unsigned int DEKHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int hash = len;
unsigned int i    = 0;

for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash = ((hash << 5) ^ (hash >> 27)) ^ (*str);
}
return hash;
}
/* End Of DEK Hash Function */

unsigned int BPHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int hash = 0;
unsigned int i    = 0;
for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash = hash << 7 ^ (*str);
}

return hash;
}
/* End Of BP Hash Function */

unsigned int FNVHash(const char* str, unsigned int len)
{
const unsigned int fnv_prime = 0x811C9DC5;
unsigned int hash      = 0;
unsigned int i         = 0;

for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash *= fnv_prime;
hash ^= (*str);
}

return hash;
}
/* End Of FNV Hash Function */

#include "hash.h"
unsigned int RSHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int b = 378551;
unsigned int a = 63689;
unsigned int hash = 0;
unsigned int i = 0;

for(i=0; i<len; str++, i++)
{
hash = hash*a + (*str);
a = a*b;
}

return hash;
}
/* End Of RS Hash Function */

unsigned int JSHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int hash = 1315423911;
unsigned int i    = 0;

for(i=0; i<len; str++, i++)
{
hash ^= ((hash<<5) + (*str) + (hash>>2));
}

return hash;
}
/* End Of JS Hash Function */

unsigned int PJWHash(const char* str, unsigned int len)
{
const unsigned int BitsInUnsignedInt = (unsigned int)(sizeof(unsigned int) * 8);
const unsigned int ThreeQuarters = (unsigned int)((BitsInUnsignedInt  * 3) / 4);
const unsigned int OneEighth = (unsigned int)(BitsInUnsignedInt / 8);
const unsigned int HighBits = (unsigned int)(0xFFFFFFFF) << (BitsInUnsignedInt - OneEighth);
unsigned int hash = 0;
unsigned int test = 0;
unsigned int i = 0;

for(i=0;i<len; str++, i++)
{
hash = (hash<<OneEighth) + (*str);

if((test = hash & HighBits)  != 0)
{
hash = ((hash ^(test >> ThreeQuarters)) & (~HighBits));
}
}

return hash;
}
/* End Of  P. J. Weinberger Hash Function */

unsigned int ELFHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int hash = 0;
unsigned int x    = 0;
unsigned int i    = 0;

for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash = (hash << 4) + (*str);
if((x = hash & 0xF0000000L) != 0)
{
hash ^= (x >> 24);
}
hash &= ~x;
}

return hash;
}
/* End Of ELF Hash Function */

unsigned int BKDRHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int seed = 131; /* 31 131 1313 13131 131313 etc.. */
unsigned int hash = 0;
unsigned int i    = 0;

for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash = (hash * seed) + (*str);
}

return hash;
}
/* End Of BKDR Hash Function */

unsigned int SDBMHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int hash = 0;
unsigned int i    = 0;

for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash = (*str) + (hash << 6) + (hash << 16) - hash;
}

return hash;
}
/* End Of SDBM Hash Function */

unsigned int DJBHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int hash = 5381;
unsigned int i    = 0;

for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash = ((hash << 5) + hash) + (*str);
}

return hash;
}
/* End Of DJB Hash Function */

unsigned int DEKHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int hash = len;
unsigned int i    = 0;

for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash = ((hash << 5) ^ (hash >> 27)) ^ (*str);
}
return hash;
}
/* End Of DEK Hash Function */

unsigned int BPHash(const char* str, unsigned int len)
{
unsigned int hash = 0;
unsigned int i    = 0;
for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash = hash << 7 ^ (*str);
}

return hash;
}
/* End Of BP Hash Function */

unsigned int FNVHash(const char* str, unsigned int len)
{
const unsigned int fnv_prime = 0x811C9DC5;
unsigned int hash      = 0;
unsigned int i         = 0;

for(i = 0; i < len; str++, i++)
{
hash *= fnv_prime;
hash ^= (*str);
}

return hash;
}
/* End Of FNV Hash Function */

数据下载：http://pan.baidu.com/s/1hqBTks0

Github 地址：https://github.com/jihite/Bloom-Filter

5. 扩展

如何删除存储数组中的元素？

思路：把存储数组的每一个元素扩展一下（原来是1b）用来存储该位置被置1的次数。存储是，计数次数加一；删除的时候，计数次数减一。

下面一篇，将更加详细阐述：

Bloom filter 过滤(布隆过滤算法)原理（转）

/article/1988306.html

http://blog.csdn.net/jiaomeng/article/details/1495500

一，什么是Bloom filter

Bloom filter 是由 Howard Bloom 在 1970 年提出的二进制向量数据结构，它具有很好的空间和时间效率，被用来检测一个元素是不是集合中的一个成员，这种检测只会对在集合内的数据错判，而不会对不是集合内的数据进行错判，这样每个检测请求返回有“在集合内（可能错误）”和“不在集合内（绝对不在集合内）”两种情况，可见 Bloom filter 是牺牲了正确率换取时间和空间。

二，bloom filter的计算方法

如需要判断一个元素是不是在一个集合中，我们通常做法是把所有元素保存下来，然后通过比较知道它是不是在集合内，链表、树都是基于这种思路，当集合内元素个数的变大，我们需要的空间和时间都线性变大，检索速度也越来越慢。 Bloom filter 采用的是哈希函数的方法，将一个元素映射到一个 m 长度的阵列上的一个点，当这个点是 1 时，那么这个元素在集合内，反之则不在集合内。这个方法的缺点就是当检测的元素量很多时候可能有冲突，解决方法就是使用 k 个哈希 函数对应 k 个点，如果所有点都是 1 的话，那么元素在集合内，如果有 0 的话，元素则不再集合内。

三，bloom filter的特点

Bloom filter 优点就是它的插入和查询时间都是常数，另外它查询元素却不保存元素本身，具有良好的安全性。它的缺点也是显而易见的，当插入的元素越多，错判“在集合内”的概率就越大了，另外 Bloom filter 也不能删除一个元素，因为多个元素哈希的结果可能在 Bloom filter 结构中占用的是同一个位，如果删除了一个比特位，可能会影响多个元素的检测。

集合表示和元素查询

下面我们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合的。初始状态时，Bloom Filter是一个包含m位的位数组，每一位都置为0。



为了表达S={x1, x2,…,xn}这样一个n个元素的集合，Bloom Filter使用k个相互独立的哈希函数（Hash Function），它们分别将集合中的每个元素映射到{1,…,m}的范围中。对任意一个元素x，第i个哈希函数映射的位置hi(x)就会被置为1（1≤i≤k）。注意，如果一个位置多次被置为1，那么只有第一次会起作用，后面几次将没有任何效果。在下图中，k=3，且有两个哈希函数选中同一个位置（从左边数第五位）。



在判断y是否属于这个集合时，我们对y应用k次哈希函数，如果所有hi(y)的位置都是1（1≤i≤k），那么我们就认为y是集合中的元素，否则就认为y不是集合中的元素。下图中y1就不是集合中的元素。y2或者属于这个集合，或者刚好是一个false positive。



错误率估计

前面我们已经提到了，Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率（false positive rate），下面我们就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型，我们假设kn<m且各个哈希函数是完全随机的。当集合S={x1, x2,…,xn}的所有元素都被k个哈希函数映射到m位的位数组中时，这个位数组中某一位还是0的概率是：



其中1/m表示任意一个哈希函数选中这一位的概率（前提是哈希函数是完全随机的），(1-1/m)表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把S完全映射到位数组中，需要做kn次哈希。某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它，因此这个概率就是（1-1/m）的kn次方。令p = e-kn/m是为了简化运算，这里用到了计算e时常用的近似：



令ρ为位数组中0的比例，则ρ的数学期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情况下，要求的错误率（false positive rate）为：



(1-ρ)为位数组中1的比例，(1-ρ)k就表示k次哈希都刚好选中1的区域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了，现在来看第一步近似。p’只是ρ的数学期望，在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明[2] ，位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分别将p和p’代入上式中，得：





相比p’和f’，使用p和f通常在分析中更为方便。

最优的哈希函数个数

既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大；但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的0就多。为了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

先用p和f进行计算。注意到f = exp(k ln(1 ? e?kn/m))，我们令g = k ln(1 ? e?kn/m)，只要让g取到最小，f自然也取到最小。由于p = e-kn/m，我们可以将g写成



根据对称性法则可以很容易看出当p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)时，g取得最小值。在这种情况下，最小错误率f等于(1/2)k ≈ (0.6185)m/n。另外，注意到p是位数组中某一位仍是0的概率，所以p = 1/2对应着位数组中0和1各一半。换句话说，要想保持错误率低，最好让位数组有一半还空着。

需要强调的一点是，p = 1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值p和f。同样对于f’ = exp(k ln(1 ? (1 ? 1/m)kn))，g’ = k ln(1 ? (1 ? 1/m)kn)，p’ = (1 ? 1/m)kn，我们可以将g’写成



同样根据对称性法则可以得到当p’ = 1/2时，g’取得最小值。

位数组的大小

下面我们来看看，在不超过一定错误率的情况下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合。假设全集中共有u个元素，允许的最大错误率为?，下面我们来求位数组的位数m。

假设X为全集中任取n个元素的集合，F(X)是表示X的位数组。那么对于集合X中任意一个元素x，在s = F(X)中查询x都能得到肯定的结果，即s能够接受x。显然，由于Bloom Filter引入了错误，s能够接受的不仅仅是X中的元素，它还能够? (u - n)个false positive。因此，对于一个确定的位数组来说，它能够接受总共n + ? (u - n)个元素。在n + ? (u - n)个元素中，s真正表示的只有其中n个，所以一个确定的位数组可以表示



个集合。m位的位数组共有2m个不同的组合，进而可以推出，m位的位数组可以表示



个集合。全集中n个元素的集合总共有



个，因此要让m位的位数组能够表示所有n个元素的集合，必须有



即：



上式中的近似前提是n和?u相比很小，这也是实际情况中常常发生的。根据上式，我们得出结论：在错误率不大于?的情况下，m至少要等于n log2(1/?)才能表示任意n个元素的集合。

上一小节中我们曾算出当k = ln2· (m/n)时错误率f最小，这时f = (1/2)k = (1/2)mln2 / n。现在令f≤?，可以推出



这个结果比前面我们算得的下界n log2(1/?)大了log2 e ≈ 1.44倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时，要让错误率不超过?，m至少需要取到最小值的1.44倍。

总结

在计算机科学中，我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况，即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。Bloom Filter在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素：错误率。在使用Bloom Filter判断一个元素是否属于某个集合时，会有一定的错误率。也就是说，有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（False Positive），但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合（False Negative）。在增加了错误率这个因素之后，Bloom Filter通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。