洛必达法则求极限的本质

洛必达法则求极限的本质

    前几天，一个学弟问题一个求极限的问题，通过等价无穷小替换后，原问题转换成类似于求：当x->0时，x*lnx的极限。我用洛必达法则给求出来了，答案是0。一观察x*lnx结合答案0，让我想起本科数分高老师讲的一个结论：当x->0时，x的幂次函数趋于零的速度比lnx趋于无穷的速度快。这个结论还包括指数函数，不知道为啥对这个结论记忆特别深刻，我好像还记得把这个结论写在数分书上的哪个位置。
     昨天在编写C++程序的时候，需要产生服从正态分布的随机数，查到了Box-Muller方法，此方法用到了lnx。我的程序将0传给了lnx，也就是说出现了ln0，导致程序报错。后来我用MATLAB进行测试：当x取到多小时，lnx不至于会特别大。我取x=10^-8，结果输出一个让我有点惊讶的结果——lnx=-18，这正好验证了：x趋于0的速度比lnx 趋于负无穷的速度要快。我把这事儿告诉了实验室的小伙伴。
今天晚上几个实验室的小伙伴一起吃饭，一个同学说起我的这个小发现。旁边另一个天才听后，过了一两分钟，说：我知道洛必达法则求极限的时候为什么要求导了。我说：为什么呀？这两个问题有什么联系吗？天才解释道：洛必达法则是在比较两者的变化速度（导数正好是衡量变化速度的）。顿时，有种朝闻道的欣喜！厉害！
不知道为嘛我总喜欢把故事讲得很长很长，尼玛，其实重点就是：洛必达法则求极限的本质是比较分子分母趋于无穷或者零的速度！！！