[Lintcode] triangle && 动态规划总结

Triangle

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

Example

For example, given the following triangle

[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is

11

(i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note

Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

SOLUTION 1:

这个题特别适合总结DP方法，所以总结就在这题了。首先我们要知道为什么要动态规划，为啥不直接递归？很简单，递归时间复杂度太高了。为什么时间复杂度高？因为重复计算，实际上三角形里一共有(n^2)/2个点，实际算(n^2)/2次，O(n^2) 就够了，但是递归要计算多少次呢，递归要计算(2^n)/2,次，指数级别，太差了。怎么优化呢？cache一下就行了，现把所有计算结果放到hash里，然后重复计算时候就直接用，这样就只计算一次，就可以O(n^2)解决问题了。DP第一步就是这样，用记忆化搜索优化递归，达到DP效果。

记忆化搜索：这个方法我个人认为比DP好，不需要考虑转移方程，不需要考虑复杂的初始化，直接硬写，时间复杂度一样，多几行代码，少死几个脑细胞。

下面就是记忆化搜索模版：

核心就是先递归，做一个递归辅助函数，或者用divide & conquer也可以，写起来应该更简单。然后把所有结果存起来，如果flag标记一下，没标记过的存进去，标记过说明以前计算过，直接用，找到目标值就行了。

// 循环求所有状态
For I = 1 ->n
dp[i] = search (i)
// 搜索
int search(int i) {
if(visit[i] == 1){
return dp[i];
}
if(smallest state){
set smallest state
} else {
// to update (i,) , we might need other state
// such as (i-1), (i+1)
for other state
update dp[i] = max(search(i-1) , search(i+1))
}
visit[i] = 1;
return dp[i];
}

看代码：

代码里用了几个全局变量，但是其实都是可以为了线程安全，放到search函数里。

// version 0: top-down
public class Solution {
/**
* @param triangle: a list of lists of integers.
* @return: An integer, minimum path sum.
*/
public int minimumTotal(int[][] triangle) {
if (triangle == null || triangle.length == 0) {
return -1;
}
if (triangle[0] == null || triangle[0].length == 0) {
return -1;
}

// state: f[x][y] = minimum path value from 0,0 to x,y
int n = triangle.length;
int[][] f = new int

;

// initialize
f[0][0] = triangle[0][0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
f[i][0] = f[i - 1][0] + triangle[i][0];
f[i][i] = f[i - 1][i - 1] + triangle[i][i];
}

// top down
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < i; j++) {
f[i][j] = Math.min(f[i - 1][j], f[i - 1][j - 1]) + triangle[i][j];
}
}

// answer
int best = f[n - 1][0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
best = Math.min(best, f[n - 1][i]);
}
return best;
}
}

View Code

总结：

首先，在一个题里，看到问题是

＊＊最大值／最小值＊＊最大路径／最小路径＊＊结果总数＊＊true／false＊＊=====> 基本可以先去试试动态规划思路。

其次，在动态规划过程中，可以优化的就是空间，用滚动数组优化二维DP，循环指针优化一维DP。（其实就是取个 ％）。

再然后就是动态规划中，如果转移方程不好计算，并且初始化不好找，果断使用记忆化搜索，开一个额外空间做flag，标记这个位置是否访问过，再纪录所有计算过程，可以做到跟DP一样的时间复杂度。（我认为这个方法可以说是最好用的吧，不需要太多思考，但是一定要画一个搜索树，画图，确定方程）。

最后注意，比如说word ladder这种题，单词中字母位置跟DP数组中对应位置是否一致，需要看自己定义状态跟初始化。