poj3020 匈牙利算法+建图

转自网络的题解：（写的很好）

转载请注明出处：優YoU http://user.qzone.qq.com/289065406/blog/1299322779

提示：别被图片的圈圈误导了，看清楚题目，'*'是城市，'o'是空地，椭圆的天线覆盖范围要覆盖的是城市'*',而不是覆盖空地

 

题目大意：

一个矩形中，有N个城市’*’，现在这n个城市都要覆盖无线，若放置一个基站，那么它至多可以覆盖相邻的两个城市。

问至少放置多少个基站才能使得所有的城市都覆盖无线？

解题思路：

思前想后，依稀可以认为是一道求二分图的最小路径覆盖问题

（注意不是最小点覆盖）

 

那么接下来需要确认的是，

究竟是求 有向二分图的最小路覆盖，还是求 无向二分图的最小路覆盖

因为有向和无向是截然不同的计算方法。

 

要确认是构造有向图，还是构造无向图，那么就需要先根据题意，看看构造二分图时所使用的方式，更适合构造哪一种二分图。

 

然后就进入了本题难点：如何构造二分图

 

首先要明确的是，输入的一堆“圈圈星星”可以看做是一张大地图，地图上有所有城市的坐标，但是这里有一个误区：不能简单地把城市的两个x、y坐标作为准备构造的二分图的两个顶点集。

城市才是要构造的二分图的顶点！

构造方法如下：

例如输入：

*oo

***

O*o

时，可以抽象为一个数字地图：

100

234

050

数字就是根据输入的城市次序作为该城市的编号，0代表该位置没有城市。

然后根据题目的“范围”规则，从第一个城市开始，以自身作为中心城市，向四个方向的城市进行连线（覆盖）

因此就能够得到边集：

e12  e21     e32     e43    e53

     e23     e34

             e35

可以看到，这些边都是有向边，但是每一条边都有与其对应的一条相反边。

即任意两个城市（顶点）之间的边是成对出现的

那么我们就可以确定下来，应该 构造无向二分图（其实无向=双向）

因为若要构造有向的二分图时，需要判断已出现的边，是很麻烦的工作

 

为了把有向图G构造为无向二分图，这里需要引入一个新名词“拆点”

其实就是把原有向图G的每一个顶点都”拆分（我认为复制更准确）”为2个点，分别属于所要构造的二分图的两个顶点集

 

例如在刚才的例子中抽出一条有向边e12举例说明：

复制顶点1和顶点2，使得1，2∈V1；  1’，2’∈V2 ，不难发现|V1|=|V2|

根据边e12和e21，得到无向二分图：


 

那么同理就可以得到刚才的例子的 无向二分图为：


 

再继而通过无向二分图，以V1的元素作为row，V2的元素作为col，构造 可达矩阵 存储到计算机

   1’  2’  3’  4’  5’

1  F  T   F   F   F

2  T  F   T   F   F

3  F  T   F   T   T

4  F  F   T   F   F

5  F  F   T   F   F

 

接下来就是要求这个 无向二分图的最小路径覆盖 了

利用公式：

 

无向二分图的最小路径覆盖 = 顶点数 – 最大二分匹配数/2

 

顶点数：就是用于构造无向二分图的城市数，即进行“拆点”操作前的顶点数量

最大二分匹配书之所以要除以2，是因为进行了“拆点”擦奥做做使得匹配总数多了一倍，因此除以2得到原图的真正的匹配数

 

最后剩下的问题就是求最大二分匹配数了，用匈牙利算法，这就不多说了，参考POJ3041的做法，基本一摸一样。

 

从这道题得出了一个结论：

当二分图的两个顶点子集基数相等时，该二分图所有顶点的匹配数 等于 任意一个顶点子集匹配数的2倍 

其实匈牙利算法解题是极为简单的，但是图论的难并不是难在解答，而是建图的过程，也难怪会有牛曰：用匈牙利算法，建图是痛苦的，最后是快乐的。

 题解代码：

 

//Memory Time
//420K   16MS
#include<iostream>
using namespace std;
int ipmap[41][11];   //标记存在城市'*'的位置，并依次记录城市的编号
int ip;     //城市编号（最终是城市数量）
int V1,V2;  //二分图的两个顶点集
int M;      //最大二分匹配
bool city[401][401];   //标记两个城市之间是否能连通
//通过“拆点”操作，把每一个城市拆分为2个，分别属于所构造的二分图的两个点集
bool vist[401];
int link[401];
int dire_r[4]={-1,1,0,0};
int dire_c[4]={0,0,-1,1};   //分别对应四个方位 上 下 左 右
/*Hungary Algorithm*/
bool dfs(int x)
{
for(int y=1;y<=V2;y++)
if(city[x][y] && !vist[y])
{
vist[y]=true;
if(link[y]==0 || dfs(link[y]))
{
link[y]=x;
return true;
}
}
return false;
}
void search(void)
{
for(int x=1;x<=V1;x++)
{
memset(vist,false,sizeof(vist));
if(dfs(x))
M++;
}
return;
}
int main(void)
{
int test,h,w;
cin>>test;
while(test--)
{
/*Initial*/
memset(ipmap,0,sizeof(ipmap));
memset(city,false,sizeof(city));
memset(link,0,sizeof(link));
ip=0;
M=0;
/*Read in the maps*/
cin>>h>>w;
int i,j;
char temp;
for(i=1;i<=h;i++)
for(j=1;j<=w;j++)
{
cin>>temp;
if(temp=='*')
ipmap[i][j]=++ip;
}
/*Structure the Bipartite Graphs*/
for(i=1;i<=h;i++)
for(j=1;j<=w;j++)
if(ipmap[i][j])
for(int k=0;k<4;k++)
{
int x=i+dire_r[k];
int y=j+dire_c[k];
if(ipmap[x][y])
city[ ipmap[i][j] ][ ipmap[x][y] ]=true;      //"拆点"操作是"顺便"被完成的
}                                                    //二分图构造完毕后，之后的问题就和POJ3041一样处理了
V1=V2=ip;
/*增广轨搜索*/
search();
/*Output*/
cout<<ip-M/2<<endl;   //无向二分图：最小路径覆盖数 = "拆点"前原图的顶点数 - 最大匹配数/2
}
return 0;
}

我自己的代码：匈牙利算法

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include <iostream>
using namespace std;
#define maxn 500
int edge[maxn][maxn];
char s[maxn][maxn];
int ma[maxn][maxn];
int gril[maxn];
int used[maxn];
int ans=0;
int v1,v2;
int t;
int dirx[4]= {-1,1,0,0};
int diry[4]= {0,0,-1,1};
int dfs(int x)
{
for(int i=1; i<=v2; i++) //历遍每一个右端点
{
if(edge[x][i]==1&&used[i]==0) //如果有边并且该端点还未使用就检验是否能构成增广路
{
used[i]=1;
if(gril[i]==0||dfs(gril[i]))//如果该点是为匹配点或者能形成增广路，
{
gril[i]=x;//那么给予该点匹配
return 1;
}
}
}
return 0;
}
void hungrian()
{
for(int i=1; i<=v1; i++)
{
memset(used,0,sizeof(used));  //dfs初始化
if(dfs(i))
ans++;
}
}
int main()
{
int m,n;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&m,&n);
memset(edge,0,sizeof(edge));
memset(gril,0,sizeof(gril));
memset(ma,0,sizeof(ma));
int cnt=0;
ans=0;
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%s",s[i]);
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(s[i][j]=='*')
{
ma[i][j]=++cnt;
}
}
}
for(int i=0;i<m;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(ma[i][j])
{
for(int  k=0;k<4;k++)
{
int tx=i+dirx[k];
int ty=j+diry[k];
if(ma[tx][ty])
{
edge[ma[i][j]][ma[tx][ty]]=1;
}
}
}
}
}
v1=v2=cnt;
hungrian();
printf("%d\n",cnt-ans/2);
}
}

用hc算法啊的（不会拼  以后写简写 ）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 500
#define inf INT_MAX
char s[maxn][maxn];
int ma[maxn][maxn];
int ans=0;
int t;
int dirx[4]= {-1,1,0,0};
int diry[4]= {0,0,-1,1};
int bmap[maxn][maxn];
int cy[maxn];
int cx[maxn];
int nx,ny;
int dx[maxn];
int dy[maxn];
int dis;
bool bmask[maxn];
bool ser()
{
queue<int>Q;
dis=inf;
memset(dx,-1,sizeof(dx));  //层数初始化
memset(dy,-1,sizeof(dy));
for(int i=1;i<=nx;i++) //没匹配的进队列
{
if(cx[i]==-1)
{
Q.push(i);
dx[i]=0;
}
}
while(!Q.empty())
{
int u=Q.front();
Q.pop();
for(int v=1;v<=ny;v++)  //历遍每一个y集合
{
if(bmap[u][v]&&dy[v]==-1)  //如果有边且无层数
{
dy[v]=dx[u]+1;
if(cy[v]==-1)dis=dy[v];  //如果未匹配，记录层数
else //如果匹配了，更改v匹配的那个人的层数。并进队列。
{
dx[cy[v]]=dy[v]+1;
Q.push(cy[v]);
}
}
}
}
return dis!=inf;
}
int findpath(int u)
{
for(int v=1;v<=ny;v++)
{
if(!bmask[v]&&bmap[u][v]&&dy[v]==dx[u]+1)  //如果v未vis，并且有边，且是u的下一层
{
bmask[v]=1;
if(cy[v]!=-1&&dy[v]==dis)  //如果v匹配了，并且是最后一层，continue
{
continue;
}
if(cy[v]==-1||findpath(cy[v])) //如果v未匹配或者能腾出来位置就更新匹配
{
cy[v]=u;
cx[u]=v;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int maxmatch()
{
int res=0;
memset(cx,-1,sizeof(cx));
memset(cy,-1,sizeof(cy));
while(ser()) //只要存在增广路
{
memset(bmask,0,sizeof(bmask));
for(int i=1;i<=nx;i++)
{
if(cx[i]==-1)
{
res+=findpath(i);
}
}
}
return res;
}
int main()
{
int m,n;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&m,&n);
memset(bmap,0,sizeof(bmap));
memset(ma,0,sizeof(ma));
int cnt=0;
ans=0;
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%s",s[i]);
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(s[i][j]=='*')
{
ma[i][j]=++cnt;
}
}
}
for(int i=0;i<m;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(ma[i][j])
{
for(int  k=0;k<4;k++)
{
int tx=i+dirx[k];
int ty=j+diry[k];
if(ma[tx][ty])
{
bmap[ma[i][j]][ma[tx][ty]]=1;
}
}
}
}
}
nx=ny=cnt;
ans=maxmatch();
printf("%d\n",cnt-ans/2);
}
}