Ackerman函数

维基百科：阿克曼函数

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阿克曼函数是非原始递归函数的例子；它需要两个自然数作为输入值，输出一个自然数。它的输出值增长速度非常高，仅是(4,3)的输出已大得不能准确计算。

1920年代后期，数学家大卫·希尔伯特的学生Gabriel
Sudan和威廉·阿克曼，当时正研究计算的基础。Sudan发明了一个递归却非原始递归的Sudan函数。1928年，阿克曼又独立想出了另一个递归却非原始递归的函数。他最初的念头是一个三个变量的函数A(m,n,p)，使用康威链式箭号表示法是m→n→p。阿克曼证明了它是递归函数。希尔伯特在On
the Infinite猜想这个函数不是原始递归。阿克曼在On Hilbert’s Construction of the Real Numbers证明了这点。后来Rozsa
Peter和Raphael
Robinson定义了一个类似的函数，但只用两个变量。

定义：

{ n+1; m=0,n>0

A(m,n) = { A(m-1,1); n=0,m>0

{ A(m-1,A(m,n-1)) n>0,m>0

求 ack(3,3) 的返回值：

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int ack(int m,int n)

{

if(m == 0)

return n+1;

else if(n == 0)

return ack(m-1,1);

else

return ack(m-1,ack(m,n-1));

}

m=0时，

ack(0,0)=1

ack(0,1)=2;

m=1时，

ack(1,0)=2;

ack(1,1)=3;

//容易口算出来的几个值

1,ack(1,n)=ack(0,ack(1,n-1))+1=ack(1,n-1)+1;
//递推式
由递推式得：ack(1,n)=n+2;

ps：递推式形如 A(n) = A(n-1) + 1，求A(n)。

用的是高中数学知识，方法是“累加法”(加起来然后消掉)，是否想起来了？

2，ack(2,n)=ack(1,ack(2,n-1))=ack(2,n-1)+2;
//递推式
由递推式得：ack(2,n)=2n+3;

ps：A(n) = A(n-1) + 2，方法同 1

3,ack(3,n)=ack(2,ack(3,n-1))=2*ack(3,n-1)+3; //递推式

即：ack(3,n)+3=2(ack(3,n-1)+3)

得: ack(3,n)+3=(ack(3,1)+3)*2n-1;

又ack(3,1)=2ack(3,0)+3

ack(3,0)=a(2,1)=5

所以ack(3,1)=13;
所以 ack(3,n)=2n+3 -
3;

ps：递推式形如 A(n) = 2*A(n-1) + 3，求A(n)。

方法是“拆分常数”，拆分常数3后 A(n) +
3 = 2*( A(n-1) + 3 )，

令B(n) = A(n) + 3，即有 B(n) = 2*B(n-1)，等比数列啊，B(n)=B(1)*2n-1，

求出B(1),得到B(n),即可得到A(n)。
所以：ack(3,3)=61;

计算机运行该程序时一共调用了ack()函数2432次……