编程珠玑——快速排序总结

快速排序

快速排序是二十世纪最伟大的10大算法之一。如何写好一个快速排序通常不是一件容易的事，同时面试中或者实际应用中也经常要用到快速排序。

编程珠玑第11章专门介绍了快速排序，涉及到了基本的算法思想实现和一些优化，这里进行简单的总结以便以后快速的回忆。

基本思想

快速排序用到了分治，它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

我们直观上可以想到式子：T(n)=2T(n/2)+O（n），从而得到时间复杂度为O(nlgn),好于O(n2)的时间复杂度。

实现

至于具体怎么分割数组，《编程珠玑》首先提到了一种方法，一趟快速排序流程如下：

设置两个变量l、y，[l,r]表示要排序的数组范围，排序开始的时候：l=0，r=N-1；

以范围内的第一个数组元素作为关键比较数据，赋值给pivot，即pivot=A[l]；

设index=l, 从i=l+1开始搜索，即由左开始向右搜索(i++)，若找到一个小于key的值A[i]，将A[i]和A[++index]互换；

i遍历到范围[l,r]的最右边r之后，再将pivot元素A[l]与A[index]互换（index此时指向最后一个小于pivot的元素的位置）

整个过程也是比较教科书式的，为了直观一些，举个例子int A[]={3,4,5,1,2,6};那么整个排序过程如下

开始,l=0,r=5,pivot = A[0]=3;第一次分割之后数组如下：



分割之后，分为两块左边，l=0,r=1; 右边l=3,r=5. 两边进行第二次分割之后数组如下：



最后再将l=4，r=5的数组快进行partition排序，即完成了整个数组的排序。

实现代码如下：

void quicksort(int a[],int l,int r)
{
if(l>=r) return;
int pivot = a[l];
int index = l;
for(int i=l+1;i<=r;i++)
{
if(a[i]<pivot)
swap(a[++index],a[i]);
}
swap(a[l],a[index]);
quicksort(a,l,index-1);
quicksort(a,index+1,r);
}

特殊情况

上述讲了一般情况下的快排思想，平均时间复杂度为O（nlgn）。但是一些特殊情况的输入下仍然会导致时间复杂度为O（n2）。

全是重复元素

比如数组 a={3,3,3,3,3,3}.此时可以看到，第一次我们将数组分成长度1和5的两块；之后将长度为5的数组块又分成长度1和长度4的数组块….没有达到分治的效果。

此时时间复杂度为T（n）=T（n−1）+O（n），显然就是O（n2）的复杂度了。针对这样的情况，我们可以稍微改变快排的思路，每一趟的快排前两步和上述的快排一样

和上述一样；

和上述一样；

设i=l+1,j=r；

从i开始向后搜索，即由左开始向右搜索(i++)，找到第一个大于等于key的值A[i]；从j开始向前搜索，即由右开始向左搜索(j–)，找到第一个小于等于key的值A[i]；若i>j,终止此步，否则将A[j]和A[i]互换，重复此步骤直到终止；

交换元素A[l]与元素A[j]。

这样所有元素都相同的情况也能基本实现每次partition二分，此时时间复杂都也变成了O（NlgN）。

实现代码如下：

void quicksort(int a[],int l,int r)
{
if(l>=r) return;

int pivot = a[l];
int i=l;
int j=r+1;

while(1)
{
do{i++;}while((i<=r)&&a[i]<pivot);
while(a[--j]>pivot);
if(i>j) break;
swap(a[i],a[j]);
}
swap(a[l],a[j]);
quicksort(a,l,j-1);
quicksort(a,j+1,r);
}

输入已经排好序

面对这种情况，上述已经优化的快排代码又会出现O（N2）的时间复杂度。因为它会首先围绕最小的元素划分，将数组大小分为1和N-1，然后是围绕第二小的元素划分，依此类推，还是需要O（N2）的时间。

解决这种情况的方法很简单就是随机选择划分元素，通过把A[l]与A[l,r]中的一个随机项交换来实现这一点。只需要加两行代码：

int num=rand()%(r-l+1) + l;
swap(a[l],a[num]);

这样期望的运行时间就为O(NlgN)啦。

优化

《编程珠玑》课后练习11.11提出了一种快排的小优化点，如下图：



之前我们都没有单独考虑过重复的元素，若是将数组中和比较元素t相同的所有元素都放到中间位置，那么之后进行下一趟快排的时候就会多过滤掉一些元素，起到了优化的效果。实现代码如下：

void quciksort(int a[],int l,int r)
{
if(l>=r) return;
int m=n=r+1;
int pivot = a[l];
for(int i=r;i>=l;i--)
{
while(a[i]<pivot) i--;
if(a[i]==pivot)
swap(a[--m],a[i]);
else{//a[i]>pivot
swap(a[--n],a[i]);
swap(a[--m],a[i]);
}
}
quciksort(a,l,m-1);
quciksort(a,n,r);
}