复数和复函数

复数的引入

可以很平凡而繁琐地，将复数作为一个数域引入。它是实数域加上虚数ii的扩充域。

代数结构 即运算法则，注意乘法法则(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

几何结构 引入复平面，加入无穷远点成为C¯¯¯\overline{\mathbb C}。

拓扑结构 或分析，刻画度量。即模和极限。

复数和复平面的刻画

{z=x+iyz¯=x−iy\begin{cases}
z=x+iy\\\bar z=x-iy
\end{cases}

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x=z+z¯2y=z−z¯2i\begin{cases}
x=\dfrac{z+\bar z}{2}\\
y=\dfrac{z-\bar z}{2i}
\end{cases}

使用(x,y)(x,y)可能是因为习惯于使用实数；使用(z,z¯)(z,\bar z)更符合复数习惯，尤其是后面的解析函数特征就是用(z,z¯)(z,\bar z)的表达式中不含z¯\bar z，这比用(x,y)(x,y)的描述还需要用C-R关系加以限制要清晰得多。

用z,z¯z,\bar z表示几何图形

这其实就是上述的复平面的刻画问题，直接用上面的变换式就可以得到结论

直线的一般方程

Az+A¯z¯+C=0Az+\bar A\bar z+C=0

圆的一般方程

(z−c)(z−c)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=R2(z-c)\overline{(z-c)}=R^2

复数域的分析性质

这里主要是指分析上的一些基本概念和命题，包括

邻域

开集

闭集

极限点

内点

闭包

边界

孤立点

直径

区域

以及关于复数域拓扑和分析的几个定理，包括

Chauchy准则（复数域完备性定理）

闭区间套定理

开覆盖定理

极限点原理

Weierstrass-Bolzano定理

连通的等价条件

由于这些结论也都是平凡的，不是复变函数论研究的主题，因此忽略。

复函数

复函数这个概念的核心应该是值域为C\mathbb C，至于定义域，一般是数集C\mathbb C，当然也可以拓展到向量，到欧式空间，到H,BH,B空间。

极限和连续

复变函数作为一门学科，和实变函数理论主要不同之处在于函数对复变量的可导性。（教材语）因此，在可导之前的内容，不需要过多着墨。

导数

对实变量的偏导

设

f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)

如果u(x,y),v(x,y)u(x,y),v(x,y)在z0=(x0,y0)z_0=(x_0,y_0)处都存在关于xx的偏导数，那么定义ff对xx的偏导为

∂f∂x=∂u∂x+i∂v∂x\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}

同理，

∂f∂y=∂u∂y+i∂v∂y\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial y}+i\dfrac{\partial v}{\partial y}

利用(x,y)(x,y)和(z,z¯)(z,\bar z)的转换关系，可以得到对zz和z¯\bar z的形式偏导

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂z=12(∂∂x−i∂∂y)∂∂z¯=12(∂∂x+i∂∂y)\begin{cases}
\dfrac{\partial }{\partial z}=\dfrac12\left(\dfrac{\partial }{\partial x}-i\dfrac{\partial }{\partial y}\right)\\
\dfrac{\partial }{\partial \bar z}=\dfrac12\left(\dfrac{\partial }{\partial x}+i\dfrac{\partial }{\partial y}\right)
\end{cases}

对复变量的导数

如果极限

limz→z0f(z)−f(z0)z→z0=A,A∈C\lim_{z\to z_0}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z\to z_0}=A,A\in\mathbb C

存在，则称f(z)f(z)在z0z_0处可导，AA称为f(z)f(z)在z0z_0处的导数，记作f′(z0)f'(z_0).

微分

如果存在A∈CA\in\mathbb C，在点z0z_0处有

f(z)=f(z0)+A(z−z0)+ο(|z−z0|)f(z)=f(z_0)+A(z-z_0)+\omicron(|z-z_0|)

那么称ff在z0z_0处可微。

复变函数可导等价于可微。

解析函数

定义

若f(z)f(z)在点z0z_0的邻域内都可导，那么f(z)f(z)在z0z_0点解析；

若f(z)f(z)在区域Ω\Omega内每一点都可导，那么f(z)f(z)在区域Ω\Omega内解析，是Ω\Omega内的解析函数。

Cauchy-Riemann方程

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂u∂x=∂v∂y∂u∂y=−∂v∂x\begin{cases}
\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}\\
\dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}
\end{cases}

定理 解析函数满足Cauchy-Riemann方程

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，从实轴和虚轴两个方向求极限，可得。

方法 证明一个复变函数在某一点不可导（从而不解析）

用实变量描述，证明从不同方向逼近得到的极限不同。

命题 实值函数在区域上解析，一定是常数。

利用上面的办法，用实变量描述，证明从实轴和虚轴两个方向逼近得到的极限一个是实数一个是虚数，从而导数为00，从而是常数。

或用Cauchy-Riemann方程证明。

命题 解析函数如果存在反函数，那么反函数也是解析函数。

命题 如果两个实函数u,vu,v满足C-R方程，那么f=u+ivf=u+iv解析。

命题 如果f=u+ivf=u+iv关于u,vu,v二阶连续可导，且ff解析，那么f′f'也解析。

f′(z)=∂u∂x+i∂v∂x(极限的唯一性)f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}(极限的唯一性)

命题 解析函数f=u+ivf=u+iv满足

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂2u∂x2+∂2u∂y2=0∂2v∂x2+∂2v∂y2=0\begin{cases}
\dfrac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2u}{\partial y^2}=0\\\dfrac{\partial ^2v}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2v}{\partial y^2}=0
\end{cases}

或

{∇2u=0∇2v=0\begin{cases}
\nabla^2u=0\\\nabla^2v=0
\end{cases}

即解析函数的两个实函数都是调和函数，并且是共轭的。

命题 单连通区域Ω\Omega上调和函数唯一地确定另一个共轭的调和函数。（不考虑常数）

命题

∇2=∂2∂x2+∂2∂y2=4∂2∂z∂z¯\nabla^2=\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}=4\dfrac{\partial^2}{\partial z\partial \bar z}

定理 解析函数的充要条件

∂f∂z¯=0\dfrac{\partial f}{\partial \bar z}=0

定理 单连通区域Ω\Omega上的解析函数处处不为零，且关于实变量xx和yy二阶连续可导，则存在Ω\Omega上解析函数g(z)g(z)，使得eg(z)=f(z)e^{g(z)}=f(z)

定理 单连通区域Ω\Omega上的解析函数处处不为零，且关于实变量xx和yy二阶连续可导，则存在Ω\Omega上解析函数g(z)g(z)，对任意的自然数nn，有使得g(z)n=f(z)g(z)^n=f(z)

定理 （导数的几何意义）导数|f′(z0)|2|f'(z_0)|^2是映射w=f(z)w=f(z)关于对应区域的面积比，即映射的Jacobi行列式。

用C-R关系证明。

推论 解析函数导函数处处连续，如果在z0z_0处导数不为00，则存在 z0z_0的一个邻域DD，满足：(1)f(D)f(D)是开集；(2)f:D→f(D)f:D\to f(D)是一一映射；(3)f−1:f(D)→Df^{-1}:f(D)\to D在f(D)f(D)上解析，且

(f−1)′(w)=1f′(z),w=f(z)(f^{-1})'(w)=\dfrac1{f'(z)},w=f(z)

这个推论的应用：如果ff将一个区域映射到一条曲线上，那么ff一定是常数函数。