[Ocean Modelling for Begineers] Ch4. Long Waves in a Channel
2015-11-06 16:22
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Ch4. Long Waves in a Channel
简介本章主要介绍明渠中分层流体模拟。练习包括浅水表面波,风暴潮、内波和分层流体模拟。
4.1 有限差分法详细介绍
4.1.1 泰勒公式
4.1.2 前差,后差,中心差分
4.1.3 二阶微分格式
4.1.4 截断误差
考虑函数:\[f(x) = A sin(2\pi x/\lambda)\]
方程的导数为:
\[\frac{df}{dx} = 2 \pi A/ \lambda cos(2 \pi x/lambda)\]
如果我们使用中心差分近似一阶导数,可以得到
\[\frac{f(x+\Delta x) - f(x-\Delta x)}{2 \Delta x} = \frac{A sin[2 \pi (x+\Delta x) / \lambda] - A sin[2 \pi (x-\Delta x) / \lambda]}{2 \Delta x} = 2 \pi A / \lambda cos(2 \pi x / \lambda) \cdot [1-\epsilon]\]
相对误差与绝对误差的比值
\[\epsilon(\Delta x) = 1-\frac{sin(2 \pi \Delta x/ \lambda)}{2 \pi \Delta x / \lambda}\]
使用有限差分法模拟波动过程时,只有波长范围内有10个以上节点时才能准确描述波动过程。
4.2 表面重力长波
4.2.1 单个过程分析
NS方程描述了在不同长度尺度和时间尺度上同时发生的流体运动过程。在某些假定下,我们可以取出单独过程进行研究。比如说,当周期远远小于惯性周期时,我们可以忽略科氏力的作用而对控制方程进行简化。4.2.2 浅水过程
4.2.3 浅水模型
我们做以下假定:波周期相比惯性周期很小,可以忽略科氏力作用
假设摩擦力为一阶近似
忽略非线性项,即波速远远超过颗粒运动速度
4.2.4 控制方程
4.2.5 波动解析解
4.2.6 动画演示
4.2.7 数值计算网格
使用交错网格,流速节点位于相邻水位节点中间。4.2.8 有限差分格式
4.2.9 稳定准则
CFL准则:\[\lambda = \frac{\Delta t}{\Delta x}\sqrt{g h_{max}} \le 1\]
其中\(h_max\)为模型中最大水深。
4.2.10 一阶Shapiro过滤器
为了去掉数值振荡现象,使用Shapiro过滤算子(Shapiro, 1970):\[ \eta\_k^{n+1} = (1-\epsilon)\eta\_k^\* + 0.5 \epsilon (\eta\_{k-1}^\* + \eta\_{k+1}^\*) \]
其中\(\epsilon\)为光滑系数。
4.2.11 陆地与海岸边界
没有流动可以穿过陆地与海岸线,除非特殊处理的计算格式(4.4节介绍)。由于交叉网格设置,海岸线需要特殊的条件,若\(h_{k+1}\le 0\)时\(u_k\)为0。4.2.12 侧向陆边界条件
模型计算网格从\(k=1\)到\(k=nx\),边界处单元\(k=0\)与\(k=(n+1)x\)也需要赋值才能计算。一种方法是令边界闭合,横向对流流速为0:\[u_0^n = 0 \quad \text{and} \quad u_{(n+1)x}^n = 0\quad \]
0梯度边界条件用来消除物理量在边界处扩散流量,边界条件为:
\[C_0^n = C_1^n \quad \text{and} \quad C_{(n+1)x}^n = C_{nx}^n\quad \]
周期边界条件表示为:
\[C_0^n = C_{(n+1)x}^n \quad \text{and} \quad C_{(n+1)x}^n = C_1^n\quad \]
4.2.13 模块化Fortran脚本
4.2.14 Fortran代码结构
4.3 练习5:明渠中长波运动
4.3.1 目标
4.3.2 说明
水渠长1km,网格步长10m,设置101个节点单元,包括最后一个边界节点,计算时间步长0.1s,满足CFL准则。溃坝算例
平衡状态水深为10m,在中心110m宽长度上初始高程提升1m
波动算例
在中点处放置一个造波板,以1m振幅,20s周期造波
4.3.3 简单代码及动画示例
4.3.4 结果
4.4 练习6: 干湿算法
4.4.1 目标
可以模拟洪水传播到陆地过程。例如由潮水或风暴潮淹没海岸情形。4.4.2 重新定义干湿
湿节点定义为水深超过某一阀值\(h_{min}\),通常为几厘米左右。这个阀值作用主要是避免水体退去后湿单元出现负水深,从而使模型崩溃。干单元通常定义为\(h\le h_{min}\)4.4.3 淹没干单元
4.4.4 淹没边坡
\(h_0\)为静水位置距底部距离,在有水地方为正值,而在陆地为负值初始高程在湿单元处为0,在干单元与陆地高程相同\(\eta = -min(0, h_0)\)
真正水深为\(h = h_0 + \eta\),这个水深用来判别干湿节点
4.4.5 终极测试(?Ultimate Crash Tests)
两组测试算例,长1km,网格步长10m,设置101个节点单元,前后增加一个边界节点,计算时间步长0.1s,满足CFL准则。小岛最高位于水面0.5m,左侧200m有一风暴潮,初始高程1m,两侧为陆边界
斜坡上有一高程为4m水坑
代码几处要点
过滤算子只在湿节点作用,跳过干节点
流速更新只考虑两种情形,两侧为湿节点;由湿节点流向干节点
干湿阀值水深为0.1m,水深越小越精确(随着阀值减小,水体下流速度变快?)。但是此值不能为0,否则水体前进速度会变得特别快,并不符合实际。
存在问题
干湿水深阀值如何确定?
4.5 多层浅水模型
4.5.1 基础
在浅水假定条件下,可以构造每一层都是密度为常数多层浅水模型。第i层的动量方程为\[\frac{\partial u_i}{\partial t} = -\frac{1}{\rho_i} \frac{\partial P_i}{\partial x}\]
其中,\(i\)为层数,每层水体动压为
\[\begin{array}{ll}
P_1 = \rho_1 g \eta_1 \cr
P_2 = P_1 + (\rho_2 - \rho_1) g \eta_1 \cr
\cdots
\end{array}\]
更一般形式为
\[P_i = P_{i-1} + (\rho_i - \rho_{i-1})g \eta_i \quad \text{for} \quad i = 1,2,3,...\]
连续方程为
\[\frac{\partial h_i}{\partial t} = - \frac{\partial u_i h_i}{\partial x}\]
其中第i层水体厚度为
\[h_i = h_{i, 0} + \eta_i - \eta_{i+1}\]
这里\(h_{i, 0}\)为第i层水体未扰动时的厚度。
4.6 练习7:长波在分层流体中运动
4.6.1 目标
模拟重力波在不同密度分层水体内运动情况4.6.2 算例描述
顶层水体密度为\(1025 kg/m^3\),第二层至底层密度分别从\(1026 kg/m^3\)到\(1026.5 kg/m^3\)逐渐增加。模型由左侧正弦振荡自由表面驱动,振幅为1s,周期分别为10s与2h。两侧为封闭的固边界。计算时间取10倍波动周期,时间步0.25s。4.6.3 代码
4.6.4 结果
4.6.5 内波相速度
在两层流体模型中,内部长波的相速度为:\[c_{iw} = \sqrt{g'h^*}\]
这里\(g'\)为相对重力加速度,\(h^* = h_1 h_2 /(h_1 + h_2)\)为相对水深,对\(h_2\gg h_1\)时,\(h*\approx h_1\)。因此内部波运动速度远小于表面重力波,与表面重力波一样,在静压模型中,无法模拟内波破碎现象。
4.6.6 封闭水体自由振荡
在波节点处,流体只进行水平运动而没有垂向运动。与之相反,在波腹处流体只有垂向运动。4.6.7 Merian 定律
4.6.8 海湾内协同振荡(Co-oscillations)
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