机器学习-多变量的线性回归模型与实现笔记

0x00 代价函数

多变量的回归问题中，feature有多个，比如房屋价格预测问题，feature除了房屋的面积，还可能有房子的间数、房子的地段、房子的层数等因素所影响。在多变量回归问题中，我们的假设函数如下：



在此基础上，计算回归的代价函数为：



根据上面的公式，在Octave中，一行代码即可实现：

function J = computeCost(X, y, theta)
m = length(y); % 训练集数目
J = 1/(2*m) * sum((X*theta - y) .^ 2) ;  % 代价函数
end

X为feature的矩阵（房子的面积、层面等），y为训练集结果矩阵（即训练集中的真实房价），theta为回归的参数（有多个）。

0x01 梯度下降

我们知道，对于回归模型，其核心是在求合适的各个theta参数。

在求回归模型中合适的参数时，通常使用梯度下降算法，公式如下：



这里需要注意的是，对于n+1个参数，theta1为1是恒定的，不用处理，其余n个参数进行

同时更新

。

对于单变量的梯度下降算法，Octave代码如下：

function [theta, J_history] = gradientDescent(X, y, theta, alpha, num_iters)
m = length(y); % number of training examples
J_history = zeros(num_iters, 1);
for iter = 1:num_iters,
% 同步更新
t1 = theta(1) - alpha * (1/m) * sum((X*theta - y));
t2 = theta(2) - alpha * (1/m) * sum((X*theta - y) .* X(:,2)) ;
theta(1) = t1 ;
theta(2) = t2 ;
J_history(iter) = computeCost(X, y, theta);
end;
end;

在求

theta(1)

和

theta(2)

时，使用了两个

temp

变量，是为了对两个theta的值进行同时更新操作(先更新后赋值)。

在多变量的梯度下降算法实现中，只需要同时更新各个theta即可：

function [theta, J_history] = gradientDescentMulti(X, y, theta, alpha, num_iters)
m = length(y); % number of training examples
J_history = zeros(num_iters, 1);

for iter = 1:num_iters
temp = zeros(size(theta,1), 1);
% 同时更新theta值
for i=1:size(theta,1),
temp(i) = theta(i) - alpha * (1/m) * sum((X*theta - y).* X(:,i)) ;
end;

% 更新之后进行赋值操作
for i=1:size(theta,1),
theta(i) = temp(i);
end;
J_history(iter) = computeCostMulti(X, y, theta);
end
end

0x02 验证模型

这里举出单变量拟合的例子，对于多变量回归，其实是一回事儿。可以看到，经过算法运行，求取了合适的参数组合，图中的蓝色直线即拟合的结果。

右图即代价函数的等高线，上的点是最终的minJ取值。

综上所述，对于多变量回归问题，我们的处理思路是寻找feature，求出假设函数，求出代价函数，在代价函数基础上利用梯度下降算法，最后验证模型的效果。实际上，在机器学习算法的逻辑回归模型中，也是这个过程。