二阶导数验证最大值与最小值

对于$w=ax^2+bxy+cy^2$，可以将其化简为：

$$w=\frac{1}{4a}\left[4a^2\left(x+\frac{b}{2a}y\right)^2+\left(4ac-b^2\right)y^2\right]$$

该式由两个平方项组成，其中$4a^2\left(x+\frac{b}{2a}y\right)^2\ge0$，$\left(4ac-b^2\right)y^2$的符号不确定。当两个平方项的系数都为正数的时候存在极值点，当$a\ge0$时，有极大值，当$a\le0$时，有极小值。一正一负的时候存在鞍点（saddle point），当$\left(4ac-b^2\right)y^2=0$的时候暂时不能确定。

上式同样可以化简为：

$$w=y^2\left[a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c\right]$$

其中，$y^2\ge0$，$\Delta=b^2-4ac$，如果$\Delta>0$，则$a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c$的值可能大于0，也可能小于0，也就意味着$w$存在鞍点；如果$\Delta<0$，则$a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c$的值要么都大于0，要么都小于0，取决于$a$的值，当$a>0$时，$w$存在最小值，当$a<0$时，存在最大值。