中国剩余定理的证明

例如这样的式子



其中m1……mn互质，我们求里面的x，就会用到中国剩余定理。

为了方便后面表示，我们把s看成x，那么：
我们先选择其中的第一个式子来看，s % m1 = a1
那么我们可以把这个式子转换为s + m1*y = a1 ①
我们令M = m1*m2*……*mn，M1 = M / m1
由于m1与m2……mn互质，那么M1与m1是互质的
那么我们可以得到如下方程
M1 * x + m1 * y = 1 ②
那么M1 * x % m1 = 1，那么x为M1的逆元
我们把②式扩大a1倍
得到M1 * x * a1 + m1 * a1 * y = a1
由于a1*y只是模m1的次数，那么我们可以看成一个整体y，那么得到下式
M1 * x * a1 + m1 * y = a1 ③
①式与③式对比，得到s = M1*x*a1
由于有n个式子，那么
S=∑aiMixiS=∑aiMixis=∑Mi*xi*ai（其中x为Mi逆元，求逆元我们可以用之前学的扩展欧几里得）
将结果mod M，得到最小解