递归 尾递归

阶乘函数：

n!=n*(n-1)*(n-2)...3*2*1

针对这样的表述，直译成一个过程：

(define (factorial n)

    (if (=n 1)

        1

        (* n (factorial (- n 1)))))

如果是factorial(6),其计算行为是：

(factorial 6)

(* 6 (factorial 5))

(* 6 (* 5 (factorial 4)))

(* 6 (* 5 (* 4 (factorial 3))))

(* 6 (* 5 (* 4 (* 3 (factorial 2)))))

(* 6 (* 5 (* 4 (* 3 (* 2 (factorial 1))))))

(* 6 (* 5 (* 4 (* 3 (* 2 1)))))

(* 6 (* 5 (* 4 (* 3 2))))

(* 6 (* 5 (* 4 6)))

(* 6 (* 5 24))

(* 6 120)

720

现在我们换种不同的角度来计算阶乘，我们可以将计算阶乘n!的规则描述为：先乘以1和2，而后将得到的结果乘以3，而后再乘以4，这样下去直到达到n.更形式的说，我们要维护一个变动的乘积product,以及一个从1到n的计数器counter,这一计算过程可以描述为counter和product的如下变化，从一步到下一步，它们都按照下面的规则变化：

product <- counter*product

counter <- counter-1

可以看到，n!也就是计算器counter超过n时乘积product的值。

这样，我们可以这样描述阶乘的过程：

(define (factorial n)

   (fact-iter 1 1 n))

(define (fact-iter product counter max-count)

  (if (> counter max-count)

      product

      (fact-iter  (* counter product)

                  (+ counter 1)

                  max-count)))

这样，新的模型的6!的计算过程：

(factorial 6)

(factorial 1 1 6)

(factorial 1 2 6)

(factorial 2 3 6)

(factorial 6 4 6)

(factorial 24 5 6)

(factorial 120 6 6)

(factorial 720 7 6)

720

考虑前一个计算过程，代换模型揭示出一种先逐步展开而后收缩的形状，在展开的过程里，这一计算过程构造起一个推迟进行的操作所形成的链条，收缩阶段表现为这些运算的实际执行。这种类型的计算过程由一个推迟执行的运算链条刻画，称为一个递归计算过程。要执行这样的计算过程，解释器就需要维护好那些以后将要执行的操作的轨迹。在计算阶乘n!时，推迟执行的乘法链条的长度也就是为了保存其轨迹需要保存的信息量，这个长度随着n值而线性增长，就像计算中的步骤数目一样。这样的计算过程称为一个线性递归过程。

与之相对应，第二个计算过程里并没有任何增长或者收缩。对于任何一个n，在计算过程中的每一步，在我们需要保存轨迹里，所有的东西就是变量counter， product和max-count的当前值。我们称这种过程为一个迭代计算过程。一般来说，迭代计算过程就是那种其状态可以用固定数目的状态变量描述的计算过程；而与此同时，又存在着一套固定的规则，描述了计算过程在从一个状态到下一状态转换时，这些变量的更新方式，还有一个结束检测，它描述这一计算过程应该终止的条件。在计算n!时，所需的计算步骤随着n线性增长，这种过程称为线性迭代过程。

我们还可以从另一个角度来看这两个过程之间的对比。在迭代的情况里，在计算过程中的任何一点，那几个程序变量都提供了有关计算状态的一个完整描述。如果我们令上述计算在某两步之间停下来，要想重新唤醒这一计算，只需为解释器提供有关这三个变量的值。而对于递归计算过程而言，这里还存在着另外的一些隐含信息，它们并未保存在程序变量里，而是由解释器维持着，指明了在所推迟的运算所形成的链条里的漫游中，“这一计算过程处在何处”。这个链条越长，需要保存的信息也就越多。

在做迭代与递归之间的比较时，我们必须小心，不要搞混了递归计算过程的概念和递归过程的概念。当我们说一个过程是递归的时候，论述的是一个语法形式上的事实，说明这个过程的定义中（直接或间接地）引用了该过程本身。在说某一计算过程具有某种模式时（如线性递归），我们说的是这一计算过程的进展方式，而不是相应过程书写上的语法形式。当我们说某个递归过程将产生出一个迭代的计算过程时，别奇怪，上面的第二种方式就是，其事先称为尾递归。（某些语言某些编译器可能会直接将其优化为循环之类的动作）