凸包 graham旋转扫描

凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。

在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。

X的凸包可以用X内所有点(X1，...Xn)的线性组合来构造.

在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。

用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。



给我们n个点，让我们找出这个凸包外面一圈经过的节点。

graham旋转扫描就是来解决这个问题的。

过程

⒈ 在所有点中选取y坐标最小的一点H，当作基点。如果存在多个点的y坐标都为最小值，则选取x坐标最小的一点。坐标相同的点应排除。然后按照其它各点p和基点构成的向量<H,p>；与x轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角，只需根据余弦定理求出向量夹角的余弦值即可（当然，用函数直接算出角度就可以了。这里插一句，一开始以为atan就可以了，结果它返回的范围时负二分之π~二分之π，明显不是我们要的结果，我们要的是和x正半轴的夹角，也就是0~π，所以要用atan2（y，x），表示坐标原点为起点，指向(y,x)的射线在坐标平面上与x轴正方向之间的角的角度度（-π~π））。以下图为例，基点为H，根据夹角由小至大排序后依次为H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面进行逆时针扫描。





⒉ 线段<H,K>；一定在凸包上，接着加入C。假设线段<K,C>；也在凸包上，因为就H，K，C三点而言，它们的凸包就是由此三点所组成。但是接下来加入D时会发现，线段<K,D>；才会在凸包上，所以将线段<K,C>；排除，C点不可能是凸包。

⒊ 即当加入一点时，必须考虑到前面的线段是否会出现在凸包上。从基点开始，凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致，并与扫描的方向相反。如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化，则可判定上一点必然不在凸包上。实现时可用向量叉积进行判断，设新加入的点为pn
+ 1，上一点为pn，再上一点为pn - 1。顺时针扫描时，如果向量<pn - 1,pn>；与<pn,pn + 1>；的叉积为正（逆时针扫描判断是否为负），则将上一点删除。删除过程需要回溯，将之前所有叉积符号相反的点都删除，然后将新点加入凸包。

在上图中，加入K点时，由于线段<H,C>要旋转到<H,K>的角度，为顺时针旋转，所以C点不在凸包上，应该删除，保留K点。接着加入D点，由于线段<K,D>要旋转到<H,K>的角度，为逆时针旋转，故D点保留。按照上述步骤进行扫描，直到点集中所有的点都遍历完成，即得到凸包。

复杂度

这个算法可以直接在原数据上进行运算，因此空间复杂度为O⑴。但如果将凸包的结果存储到另一数组中，则可能在代码级别进行优化。由于在扫描凸包前要进行排序，因此时间复杂度至少为快速排序的O(nlgn）。后面的扫描过程复杂度为O(n），因此整个算法的复杂度为O(nlgn）。
下面给出一题的代码：

题目大意：且凸包的边的长度

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n;
struct point{
int x,y;
double angle;
}s[100010];
bool cmp2(point a,point b){
return a.angle<b.angle;
}
int chch(point a,point b,point c){
point x1,x2;
x1.x=b.x-a.x,x1.y=b.y-a.y;
x2.x=c.x-b.x,x2.y=c.y-b.y;
return x1.x*x2.y-x1.y*x2.x;
}
point tubao[100010];
int main()
{
cin>>n;
int t=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>s[i].x>>s[i].y;
if(s[i].y<s[t].y)t=i;
else if(s[i].y==s[t].y&&s[i].x<s[t].x)t=i;
}
swap(s
,s[t]);
for(int i=1;i<n;i++){
if(s[i].x-s
.x==0)s[i].angle=3.1415926/2;
else s[i].angle=atan2( (s[i].y-s
.y),(s[i].x-s
.x) );
}
sort(s+1,s+n,cmp2);
t=1;
tubao[1]=s
;
for(int i=1;i<n;i++){
while((t>1)&&(chch(tubao[t-1],tubao[t],s[i])<=0))t--;
t++;
tubao[t]=s[i];
}
double ans=0;
for(int i=1;i<=t;i++){
int b=i+1;
if(i==t)b=1;
ans+=pow(pow((tubao[i].x-tubao[b].x)*1.0,2)+pow((tubao[i].y-tubao[b].y)*1.0,2),1.0/2);
}
printf("%.1f",ans);
return 0;
}