哈夫曼树与哈夫曼编码

在一般的数据结构的书中，树的那章后面，著者一般都会介绍一下哈夫曼(HUFFMAN)树和哈夫曼编码。哈夫曼编码是哈夫曼树的一个应用。哈夫曼编码应用广泛，如JPEG中就应用了哈夫曼编码。首先介绍什么是哈夫曼树。哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

哈夫曼编码步骤：

一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F={T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。）

二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。

三、从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。

四、重复二和三两步，直到集合F中只有一棵二叉树为止。

 

简易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率（即权值）分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3，如图：



虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树，如图：



再依次建立哈夫曼树，如下图：



其中各个权值替换对应的字符即为下图：



所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010

 

霍夫曼编码是一种无前缀编码。解码时不会混淆。其主要应用在数据压缩，加密解密等场合。

 

C语言代码实现：

/**
*Name: 哈夫曼编码源代码。
*Date: 2011.04.16
*Author: Jeffrey Hill+Jezze(解码部分)
* 在 Win-TC 下测试通过
* 实现过程：着先通过HuffmanTree() 函数构造哈夫曼树，然后在主函数 main()中
* 自底向上开始(也就是从数组序号为零的结点开始)向上层层判断，若在
* 父结点左侧，则置码为 0,若在右侧,则置码为 1。最后输出生成的编码。
*/
#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>

#define MAXBIT 100
#define MAXVALUE 10000
#define MAXLEAF 30
#define MAXNODE MAXLEAF*2 -1

typedef struct{
int bit[MAXBIT];
int start;
} HCodeType; /* 编码结构体 */

typedef struct{
int weight;
int parent;
int lchild;
int rchild;
int value;
} HNodeType; /* 结点结构体 */

/* 构造一颗哈夫曼树 */
void HuffmanTree(HNodeType HuffNode[MAXNODE], int n)
{
/* i、j：循环变量，m1、m2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点的权值，
x1、x2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点在数组中的序号。*/
int i, j, m1, m2, x1, x2;
/* 初始化存放哈夫曼树数组 HuffNode[] 中的结点 */
for(i=0; i<2*n-1; i++)
{
HuffNode[i].weight = 0;//权值
HuffNode[i].parent = -1;
HuffNode[i].lchild = -1;
HuffNode[i].rchild = -1;
HuffNode[i].value = i; //实际值，可根据情况替换为字母
} /* end for */

/* 输入 n 个叶子结点的权值 */
for(i=0; i<n; i++)
{
printf("Please input weight of leaf node %d: \n", i);
scanf("%d", &HuffNode[i].weight);
} /* end for */

/* 循环构造 Huffman 树 */
for(i=0; i<n-1; i++)
{
m1 = m2 = MAXVALUE; /* m1、m2中存放两个无父结点且结点权值最小的两个结点 */
x1 = x2 = 0;
/* 找出所有结点中权值最小、无父结点的两个结点，并合并之为一颗二叉树 */
for (j=0; j<n+i; j++)
{
if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1)
{
m2 = m1;
x2 = x1;
m1 = HuffNode[j].weight;
x1 = j;
}
else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1)
{
m2 = HuffNode[j].weight;
x2 = j;
}
} /* end for */
/* 设置找到的两个子结点 x1、x2 的父结点信息 */
HuffNode[x1].parent = n+i;
HuffNode[x2].parent = n+i;
HuffNode[n+i].weight = HuffNode[x1].weight + HuffNode[x2].weight;
HuffNode[n+i].lchild = x1;
HuffNode[n+i].rchild = x2;

printf ("x1.weight and x2.weight in round %d: %d, %d\n", i+1,HuffNode[x1].weight, HuffNode[x2].weight); /* 用于测试 */
printf ("\n");
} /* end for */
} /* end HuffmanTree */

/* 解码 */
void decodeing(char string[],HNodeTypeBuf[],int Num)
{
int i,tmp=0,code[1024];
int m = 2*Num-1;
char *nump;
char num[1024];
for(i=0; i<strlen(string); i++)
{
if(string[i] == '0')
num[i] = 0;
else
num[i] = 1;
}
i = 0;
nump = &num[0];

while(nump<(&num[strlen(string)]))
{
tmp=m-1;
while((Buf[tmp].lchild!=-1)&&(Buf[tmp].rchild!=-1))
{
if(*nump == 0)
tmp = Buf[tmp].lchild;
else
tmp = Buf[tmp].rchild;
nump++;
}
printf("%d", Buf[tmp].value);
}
}

int main()
{
HNodeType HuffNode[MAXNODE]; /* 定义一个结点结构体数组 */
/* 定义一个编码结构体数组，同时定义一个临时变量来存放求解编码时的信息 */
HCodeTypeHuffCode[MAXLEAF], cd;
int i, j, c, p, n;
char pp[100];
printf("Please input n:\n");
scanf("%d", &n);
HuffmanTree(HuffNode, n);
for(i=0; i < n; i++)
{
cd.start = n-1;
c = i;
p = HuffNode[c].parent;
while (p != -1) /* 父结点存在 */
{
if (HuffNode[p].lchild == c)
cd.bit[cd.start] = 0;
else
cd.bit[cd.start] = 1;
cd.start--; /* 求编码的低一位 */
c = p;
p = HuffNode[c].parent; /* 设置下一循环条件 */
} /* end while */

/* 保存求出的每个叶结点的哈夫曼编码和编码的起始位 */
for (j=cd.start+1; j<n; j++)
HuffCode[i].bit[j] = cd.bit[j];
HuffCode[i].start = cd.start;
}/* end for */

/* 输出已保存好的所有存在编码的哈夫曼编码 */
for(i=0; i<n; i++)
{
printf ("%d 's Huffman code is: ", i);
for(j=HuffCode[i].start+1; j < n; j++)
{
printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);
}
printf(" start:%d",HuffCode[i].start);
printf ("\n");
}
printf("Decoding?Please Enter code:\n");
scanf("%s", &pp);
decodeing(pp, HuffNode, n);
getch();
return 0;
}