Andrew Ng Machine Learning 专题【Anomaly Detection】

此文是斯坦福大学，机器学习界 superstar — Andrew Ng 所开设的 Coursera 课程：Machine Learning 的课程笔记。力求简洁，仅代表本人观点，不足之处希望大家探讨。

课程网址：https://www.coursera.org/learn/machine-learning/home/welcome

Week 9 后半部分 Recommender Systems：http://blog.csdn.net/ironyoung/article/details/49340133

Week 9：

异常检测 & 高斯分布

异常检测是一种介于监督学习与非监督学习之间的机器学习方式。一般用于检查大规模正品中的小规模次品。根据单个特征量的概率分布，从而求出某个样本正常的概率，若正常的概率小于阈值，即 p(x)<ϵ 视其为异常（次品）。正品与次品的 label 值 y 定义为：

y={01if p(x)≥ϵif p(x)<ϵ

如果某个样本由x1,x2两个变量决定，如下图红色叉所示：



同一个圆圈内部，表示的是成为正品的概率相同。越中心的圆圈内部正品率越高。越外层的圆圈内正品率越低。

异常检测一般将每个特征量的分布假设为正态分布（如果特征量与正态分布差距很大，之后我们会提到方法对其进行修正）。为什么是正态分布？因为在生产与科学实验中发现，很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述（猜测正确的概率更大）。因此，以下稍微介绍一下正态分布的基础知识，如果很熟悉的同学可以略过这部分。

正态分布（高斯分布），包含两个参数：均值μ（分布函数取峰值时所对应横坐标轴的值），与方差σ2（标准差为σ，控制分布函数的“胖瘦”）。如果变量 x 满足于正态分布，将其记为 x∼N(μ,σ2)。而取某个 x 的对应正品概率为：p(x)=12π√σe−(x−μ)22σ2

均值 μ=1m∑i=1mx(i)，方差 σ2=1m∑i=1m(x(i)−μ)2

正态分布曲线与坐标轴之间的面积（即函数积分）恒定为 1，因此“高”曲线必然“瘦”，“矮”曲线必然“胖”：



由图可知，标准差σ控制着分布函数的“胖瘦”。原因是因为标准差有关的取值范围，有着固定的分布概率（积分）：



异常检测算法流程：

我们拥有一组训练数据：x(1),x(2),...,x(m)，每个样本有着 m 个特征量 x1,x2,...,xn

将每个样本投影到不同的特征的坐标轴上，基于样本得到各个特征的概率正态分布曲线

假设各个特征的概率是独立的，因此单个样本的异常概率为

p(x)=p(x1;μ1,σ21)×p(x2;μ2,σ22)×...×p(xn;μn,σ2n))=∏i=1np(xj;μj,σ2j)

各个特征的均值为 μj=1m∑i=1mx(i)j，方差为 σ2j=1m∑i=1m(x(i)j−μj)2

如果我们有着 10000 个正品样本，以及 20 个次品样本，我们应该这样区分训练集、交叉验证集，与测试集：

训练集：6000个正品作为训练集（不包括次品样本）

交叉验证集：2000 个正品样本 + 10 个次品样本。用以确定次品概率的阈值 ϵ

测试集：2000 个正品样本 + 10 个次品样本。用以判断算法的检测效果

特别注意，因为使用异常检测的样本集合一般都是偏斜严重的（正品样本远远多于次品样本）。因此，需要在《专题【Machine Learning Advice】》http://blog.csdn.net/ironyoung/article/details/48491237 中提到的 precision/recall/F-score 来进行判断算法的检测效果。

异常检测 VS. 监督学习

监督学习方法与异常检测类似，处理对象都是一堆有 label 的样本，并且目标都是预测新样本的类别。那么什么时候使用监督学习的方法？什么时候使用异常检测的方法？

大体上，区别如下：

样本比例：异常检测适用于正样本（y=1，即次品）个数远远小于负样本的个数的情况；监督学习适用于正负样本个数都非常多的情况

异常规律：如果正样本（y=1，即次品）有着难以预测的模式，引起正样本的原因有很多很多，适用于异常检测；但是如果正样本有着固定的规律，比如感冒（病因已被研究透彻），可以尝试基于大量的样本使用监督学习的方法建立模式进行判断

特征选择

绝大多数情况下，特征量符合正态分布的分布情况。但如果特征的分布极端不符合，我们只能对其进行一些处理，以产生全新的特征来适用于异常检测算法。例如：



此时，我们有着变换后的特征变量：xnew=log(x1)

或者，一般情况下我们希望正品的 p(x) 很大，次品的 p(x) 很小。也就是说，在异常情况下某些特征应该变得极大或极小（正态分布中对于极大值或者极小值的对应概率都是极小的，所以整个样本的正品概率相乘会很容易满足 p(x)<ϵ）：例如创建新变量xnew=x21x2，进一步放大了值增大或减小的程度。

Multivariate Gaussion（选学）

如果一个样本有着多种特征，那么整体的正品概率可以按照以上提到的，视每个变量为互相独立然后各自概率相乘进行求解（我们称之为 original model）。但是，如果出现了下图这种正相关（负相关）极强的特征量，同心圆内部的正品概率必然不同，显然不合适了：



我们希望原本的同心圆可以更扁，可以变换方向，例如上图的蓝色椭圆。

此时，我们可以利用协方差矩阵，构造全新的多变量正态分布公式。此时我们用到的不再是方差 σ2，而是协方差矩阵 Σ∈Rn×n：Σ=1m(x(i)−μ)(x(i)−μ)T。多变量正态分布的概率公式为：

p(x)=1(2π)n/2|Σ|1/2e−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)，其中|Σ|表示协方差矩阵的行列式。

协方差矩阵与均值，对概率分布图的影响如下：









original model VS. multivariate Gaussian

如果一个样本有着多种特征，那我们究竟是应该使用 original model，还是 multivariate Gaussian？

大体上，区别如下：

特征选择：original model 中的各个单个特征（或创造出的新特征），应该尽量满足在异常情况下产生概率极小的特性；而如果特征之间，发现了正相关或负相关的关系，应该用 multivariate Gaussian

计算效率：original model 仅仅乘法，效率较高；multivariate Gaussian 需要计算协方差的逆矩阵，效率较低

样本数目：original model 在训练集极小的情况下也可以计算；multivariate Gaussian 至少需要训练集样本数目大于特征数目，否则协方差矩阵无法求逆

协方差矩阵无法求逆（奇异矩阵）的情况极少发生，但是一旦发生，可能有以下几种原因：

特征的数量大于训练集的样本个数

冗余的特征变量（x1≈x2 或者 x3=x4+x5 这样的高度冗余情况）

编程作业答案：https://github.com/cnauroth/machine-learning-class