分治 麦森数解题报告（转）

描述 Description        
形如2^P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2^P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了 37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：从文件中输入P（1000<P<3100000），计算2^P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）
输入格式 Input Format      
      文件中只包含一个整数P（1000<P<3100000）
输出格式 Output Format    
      第一行：十进制高精度数2^P-1的位数。
第2-11行：十进制高精度数2^P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）
不必验证2^P-1与P是否为素数。
样例输入 Sample Input      
1279
样例输出 Sample Output    
386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087
 
题目分析：
第一问是很简单的，只需要求一个对数而已，数学原理：十进制正整数n的位数为int(log10(n))+1。所以2^P-1的位数int(log10(2)*p)+1 。
第二问的关键是高精度乘法和指数幂的运算，而且由于题目要求最后500位数字，所以在计算乘法的时候我们只要求计算乘数的低500位就好了。
指数幂的运算不能硬乘，而要采用分治算法，否则就超时了。分治递归算法求指数幂是非常经典的，其数学原理是a^n = a^(n/2)*a^(n/2)*f(a)，其中f(a) = 1(n%2==0)或f(a) = a(n%2==1)。
另外我们也可以创建一个栈，记录每次执行(n /= 2)前n的值是奇数还是偶数，然后根据上面的数学原理，模仿递归的思路，从n=1或n=0开始逆向计算a^n。
采用递归算法的时候，由于存储高精度整数数组的大小是预置MAX = 1000，所以在调用递归函数的时候要按引用传递参数，否则到了后面空间就不够分配了。
为了满足“每行输出50位”的条件，我把存储高精度整数数组的元素设置成5位数，这样输出的时候只需每行输出10个元素就行了。
 
说明：
算法思想：递归分治和高精度。
数据结构：结构数组。
时间复杂度：O(LEN*LEN*lonN)，其中LEN = 500 / WIDTH + 1;
空间复杂度：O(MAX);
程序语言：分别用c++和pascal实现。
附注：分别提供了递归和非递归算法求指数幂的子函数。
关于高精度整数的四则运算请参考拙作《高精度整数运算改进版》： http://blog.csdn.net/goal00001111/archive/2008/12/15/3522737.aspx
//PASCAL代码：

PROGRAM EXAMBigInt(INPUT, OUTPUT);
CONST
MAX = 1000; {整型数组的最大长度}
WIDTHMAX = 100000; {整型数组val[MAX]的元素上限}
WIDTH = 5; {输出整型数组val[MAX]的元素时的格式宽度，为方便输出，设成500的因数}
MAXLENGTH = 500; {输出数字的位数}
type
BigInt = RECORD
val : array [1..MAX] of int64; {用来存储高精度整数}
size : LongWord; {整型数组的实际长度}
end;
VAR
a, b : BigInt;
p : LongWord;

PROCEDURE PrintBigInt(a : BigInt);
var
i : LongWord;
begin
while (a.size*WIDTH) < MAXLENGTH do {少则补足0}
begin
inc(a.size);
a.val[a.size] := 0;
end; {while}
while (a.size*WIDTH) > MAXLENGTH do {多则只取低500}
dec(a.size);
for i:=a.size downto 1 do
begin
if a.val[i] < 10 then
write('0000')
else if a.val[i] < 100 then
write('000')
else if a.val[i] < 1000 then
write('00')
else if a.val[i] < 10000 then
write('0');
write(a.val[i]);
if (i mod 10) = 1 then
writeln;
end; {for}
end; {PrintBigInt}

FUNCTION MulBigInt(a, b : BigInt): BigInt;
const
LEN = MAXLENGTH div WIDTH;
var
c : BigInt;
i, j : LongWord;
begin
if (a.size = 1) and (a.val[1] = 0) then
MulBigInt := a
else if (b.size = 1) and (b.val[1] = 0) then
MulBigInt := b
else
begin
for i:=1 to MAX do {全部赋初值为0}
c.val[i] := 0;
i := 1;
while (i <= b.size) and (i <= LEN) do
begin
j := 1;
while (j <= a.size) and (j <= LEN) do
begin
c.val[i+j-1] := c.val[i+j-1] + a.val[j] * b.val[i];
c.val[i+j] := c.val[i+j] + c.val[i+j-1] div WIDTHMAX;
c.val[i+j-1] := c.val[i+j-1] mod WIDTHMAX;
inc(j);
end; {while}
c.size := i + j - 1;
if c.val[c.size] <> 0 then {最高位有进位}
inc(c.size);
inc(i);
end; {while}
MulBigInt := c;
end; {else}
end; {MulBigInt}

PROCEDURE PowBigInt(var c : BigInt; n : LongWord);
begin
if (n = 0) or (n = 1) then {指数为0，则幂等于1；指数为1，则幂等于底数2}
begin
c.size := 1;
c.val[1] := n + 1;
exit;
end; {if}
PowBigInt(c, n div 2); {递归求高精度整数幂}
c := MulBigInt(c, c); {a^n = a^(n/2)*a^(n/2)*f(a)}
if (n mod 2) = 1 then {其中f(a) = 1(n%2==0)或f(a) = a(n%2==1)}
c := MulBigInt(b, c);
end; {PowBigInt}

{
PROCEDURE PowBigInt(var c : BigInt; n : LongWord);
var
stack : array[1..MAX] of integer;
i, top : LongWord;
begin
top := 0;
while n > 0 do
begin
inc(top);
stack[top] := n mod 2;
n := n div 2;
end; {while}
c.size := 1;
c.val[1] := 1;
for i:=top downto 1 do
begin
c := MulBigInt(c, c);
if stack[i] = 1 then
c := MulBigInt(c, b);
end; {for}
end; {PowBigInt}
}

BEGIN
read(p);
writeln(trunc(p * ln(2) / ln(10)) + 1); {输出十进制高精度数2^P-1的位数}
b.size := 1;
b.val[1] := 2;
PowBigInt(a, p);
dec(a.val[1]);
PrintBigInt(a);
writeln;
END.

//c++代码：

#include<iostream>

#include<math.h>

using namespace std;

const unsigned int MAX = 1000; //整型数组的最大长度

const long long WIDTHMAX = 100000;//整型数组val[MAX]的元素上限

const unsigned int WIDTH = 5; //输出整型数组val[MAX]的元素时的格式宽度，为方便输出，设成500的因数

typedef struct node

{

long long val[MAX];//用来存储高精度整数

unsigned int size; //整型数组的实际长度

} BigInt;

void PrintBigInt(BigInt a);

BigInt MulBigInt(const BigInt & a, const BigInt & b);

void PowBigInt(BigInt & c, unsigned int n);

int main()

{

unsigned int p;

cin >> p;

cout << int(log10(2)*p) + 1 << endl;  //输出十进制高精度数2^P-1的位数

BigInt a;

PowBigInt(a, p);

a.val[0] -= 1;

PrintBigInt(a);

system("pause");

return 0;

}

/*

函数名称：PowBigInt

函数功能：递归高效算法求高精度整数幂，底数默认为2

输入参数：BigInt & c：存储高精度整数幂的整型数组

unsigned int n：  指数

输出参数：BigInt & c：存储高精度整数幂的整型数组

*/

void PowBigInt(BigInt & c, unsigned int n)

{

if (n == 0 || n == 1)//指数为0，则幂等于1；指数为1，则幂等于底数2

{

c.size = 1;

c.val[0] = n + 1;

return ;

}

PowBigInt(c, n/2); //递归求高精度整数幂

c = MulBigInt(c, c); //a^n = a^(n/2)*a^(n/2)*f(a)

if (n % 2 == 1)     //其中f(a) = 1(n%2==0)或f(a) = a(n%2==1)

{

BigInt b;

b.size = 1;

b.val[0] = 2; //底数默认为2

c = MulBigInt(b, c);

}

}

/**/

/*

函数名称：PowBigInt

函数功能：非递归高效算法求高精度整数幂，底数默认为2

输入参数：BigInt & c：存储高精度整数幂的整型数组

unsigned int n：  指数

输出参数：BigInt & c：存储高精度整数幂的整型数组

*

void PowBigInt(BigInt & c, unsigned int n)

{

int stack[MAX] = {0};

int top = 0;

while (n > 0) //利用一个栈来存储n的状态：奇数还是偶数

{

stack[top++] = n % 2;

n /= 2;

}

BigInt b;

b.size = 1;

b.val[0] = 2; //底数默认为2

c.size = 1;

c.val[0] = 1;

for (int i=top-1; i>=0; i--)

{

c = MulBigInt(c, c);  //a^n = a^(n/2)*a^(n/2)*f(a)

if (stack[i] == 1)   //其中f(a) = 1(n%2==0)或f(a) = a(n%2==1)

c = MulBigInt(b, c);

}

}

/**/

/*

函数名称：PrintBigInt

函数功能：十进制高精度数2^P-1的最后500位数字，每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0

输入参数：BigInt a：存储高精度整数幂的整型数组

输出参数：无

*/

void PrintBigInt(BigInt a)

{

while (a.size*WIDTH < 500)//少则补足0

{

a.val[a.size++] = 0;

}

while (a.size*WIDTH > 500)//多则只取低500

{

a.size--;

}

for (int i=a.size-1; i>=0; i--)

{

if (a.val[i] < 10)

cout << "0000";

else if (a.val[i] < 100)

cout << "000";

else if (a.val[i] < 1000)

cout << "00";

else if (a.val[i] < 10000)

cout << "0";

cout << a.val[i];

if (i % 10 == 0) //每行输出10个元素

cout << endl;

}

}

/*

函数名称：MulBigInt

函数功能：高精度整数乘法

输入参数：const BigInt & a：用整型数组表示的高精度整数被乘数

const BigInt & b：用整型数组表示的高精度整数乘数

输出参数：BigInt：返回用整型数组表示的高精度整数乘积

*/

BigInt MulBigInt(const BigInt & a, const BigInt & b)

{

if (a.size == 1 && a.val[0] == 0)

return a;

if (b.size == 1 && b.val[0] == 0)

return b;

const int LEN = 500 / WIDTH + 1;//只需取低500位相乘就好了

BigInt c;

for (int i=0; i<MAX; i++) //全部赋初值为0

c.val[i] = 0;

for (int i=0, j=0; i<b.size && i<LEN; i++)

{

for (j=0; j<a.size && j<LEN; j++)

{

c.val[i+j] += a.val[j] * b.val[i];

c.val[i+j+1] += c.val[i+j] / WIDTHMAX;

c.val[i+j] %= WIDTHMAX;

}

c.size = i + j;

if (c.val[c.size] != 0)//最高位有进位

c.size++;

}

return c;

}