Miller-Rabin大数素性测试

素性测试是检验一个给定的整数是否为质数的测试。

对于确定型算法试除法，即尝试从2到√N的整数是否整除N，若N较大，则算法无法在如今大多数机器上一个可以忍耐的时间内结给出结果。使用随机化算法Miller-Rabin素性测试 则可以在极短的时间内得到一个较准确的结果，并且可以通过综合多次随机测试结果将错误概率降为可以忽略不计。

Miller-Rabin素性测试 基于费马小定理

费马小定理：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）。

即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

对于费马小定理，其近似逆命题

若a^(p-1)≡1（mod p），且a属于集合{1,2,3,…,p-1}，则p为质数

几乎成立。

若能判断所有属于集合{1,2,3,…,p-1}的a都满足a^(p-1)≡1（mod p），即可确定p为质数，然而若p为合数，只有很少的a属于集合{1,2,3,…,p-1}会使a^(p-1)≡1（mod p）成立。据此可以设计算法：随机选取a属于集合{1,2,3,…,p-1}，若a^(p-1)≡1（mod p）不成立，可 确定 p为合数，否则可以 几乎确定 p为质数，多次随机选取a增加判断的准确率。

算法实现：

int isPrime(long long x,int times){
/*  x为待测试数，times为测试次数   */
long long a,b,r;
for (srand(x+rand()); times--;){
a = ((x-2)*rand()*1./RAND_MAX)+2;
b = x - 1;
for (r = 1; b; b >>= 1){
b&1?r=r*a%x:0;
a=a*a%x;
}
if (r%x!=1) return 0;
}
return 1;
}

该算法实际运行时的准确率远高于预期，测试结果：

100000000内数据测试100000000次单次测试times设为1错误率0%