连续子数组最大和问题

问题描述

输入一个整形数组，求数组中连续的子数组使其和最大。比如，数组x



应该返回 x[2..6]的和187.

问题解决

我们很自然地能想到穷举的办法，穷举所有的子数组的之和，找出最大值。

穷举法

i, j的for循环表示x[i..j]，k的for循环用来计算x[i..j]之和。

maxsofar = 0
for i = [0, n)
for j = [i, n)
sum = 0
for k = [i, j]
sum += x[k]
/* sum is sum of x[i..j] */
maxsofar = max(maxsofar, sum)

有三层循环，穷举法的时间复杂度为O(n3)

对穷举法的改进1

我们注意到

x[i..j]之和 = x[i..j-1]之和 + x[j]

，因此在j的for循环中，可直接求出sum。

maxsofar = 0
for i = [0, n)
sum = 0
for j = [i, n)
sum += x[j]
/* sum is sum of x[i..j] */
maxsofar = max(maxsofar, sum)

显然，改进之后的时间复杂度变为O(n2)。

对穷举法的改进2

在计算fibonacci数时，应该还有印象：用一个累加数组（cumulative array）记录前面n-1次之和，计算当前时只需加上n即可。同样地，我们用累加数组cumarr记录：

cumarr[i]
= x[0] + . . . +x[i]

，那么

x [i.. j]之和 = cumarr[j] -cumarr[i - 1]

。

cumarr[-1] = 0
for i = [0, n)
cumarr[i] = cumarr[i-1] + x[i]

maxsofar = 0
for i = [0, n)
for j = [i, n)
sum = cumarr[j] - cumarr[i-1]
/* sum is sum of x[i..j] */
maxsofar = max(maxsofar, sum)

时间复杂度依然为O(n2)。

分治法

所谓分治法，是指将一个问题分解为两个子问题，然后分而解决之。具体步骤如下：

先将数组分为两个等长的子数组a, b；



分别求出两个数组a，b的连续子数组之和；



还有一种情况比较容易忽略：有可能最大和的子数组跨越两个数组；



最后比较ma, mb, mc，取最大即可。

在计算mc时，注意：mc必定包含总区间的中间元素，因此求mc等价于

从中间元素开始往左累加的最大值
+ 从中间元素开始往右累加的最大值

。

float maxsum3(l, u)
if (l > u) /* zero elements */
return 0

if (l == u) /* one element */
return max(0, x[l])

m = (l + u) / 2
/* find max crossing to left */
lmax = sum = 0
for (i = m; i >= l; i--)
sum += x[i]
lmax = max(lmax, sum)

/* find max crossing to right */
rmax = sum = 0
for i = (m, u]
sum += x[i]
rmax = max(rmax, sum)

return max(lmax+rmax,
maxsum3(l, m),
maxsum3(m+1, u));

容易证明，时间复杂度为O(n∗log n)。

Kadane算法

Kadane算法又被称为扫描法，该算法用到了一个启发式规则：如果前面一段连续子数组的和小于0，那么就丢弃它。其实也蛮好理解的，举个简单例子，比如：数组

-1, 2, 3

，-1为负数，为了使得子数组之和最大，显然不应当把-1计入进内。

max_ending_here记录前面一段连续子数组之和。

Initialize:
max_so_far = 0
max_ending_here = 0

Loop for each element of the array
(a) max_ending_here = max_ending_here + x[i]
(b) if(max_ending_here < 0)
max_ending_here = 0
(c) if(max_so_far < max_ending_here)
max_so_far = max_ending_here
return max_so_far

只遍历了一遍数组，因此时间复杂度为O(n)。

参考资料

[1] Jon Bentley, Programming Pearls.

[2] GeeksforGeeks, Largest Sum Contiguous Subarray.

分类: 算法 http://blog.csdn.net/it_man/article/details/14899905