Project Euler Problem 76-整数分拆

It is possible to write five as a sum in exactly six different ways:

4 + 1

3 + 2

3 + 1 + 1

2 + 2 + 1

2 + 1 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1 + 1

How many different ways can one hundred be written as a sum of at least two positive integers?

下面是解题代码：

public static void main(String[] args) {
System.out.println(f(100,99));
}

/**
* f(1,m)=1; f(n,1)=1; f(n,n)=1+f(n,n-1); f(n,m)=f(n-m,m)+f(n,m-1);
*
* @return
*/
public static int f(int n, int m) {
if (n == 1 || m == 1) {
return 1;
}
if (n < m) {
return f(n, n);
} else if (n == m) {
return 1 + f(n, n - 1);
} else {
return f(n - m, m) + f(n, m - 1);
}
}

整数分拆问题的递归方法思想：

所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

例如但n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

（1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

(2) 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

(3) 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

(a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

(b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

(4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

(5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

(a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分

个数为f(n-m, m);

(b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

f(n, m)=

1; (n=1 or m=1)

f(n, n); (n<m)

1+ f(n, m-1); (n=m)

f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)

参考：http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2008/10/11/1308493.html