特征向量的几何意义

特征向量确实有很明确的几何意义.矩阵(既然讨论特征向量的问题.当然是方阵.这里不讨论广义特征向量的概念.就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍 是同维数的一个向量.因此.矩阵乘法对应了一个变换.把一个向量变成同维数的另一个向量.那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系.比如可 以取适当的二维方阵.使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度.这时我们可以问一个问题.有没有向量在这个变换下不改变方向呢?可以想
一下.除了零向量.没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的.所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能 是零向量).所以一个变换的特征向量是这样一种向量.它经过这种特定的变换后保持方向不变.只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx.你就恍然大悟了.看到了吗?cx是方阵A对向量x进行变换后的结果.但显然cx和x的方向相同).而且x是特征向量的话.ax也是特征向量(a是标 量且不为零).所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族. 另外.特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已.对一个变换而言.特征向量指明的方向才是很重要的.特征值不是那么重要.虽然我们求这两个量时
先求出特征值.但特征向量才是更本质的东西!